[논문 리뷰] Multisymplectic Theory of Balance Systems and Entropy Principle

Serge Preston|ArXiv.org|2006. 11. 28.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 구성론적 관계를 제트 배럴과 그 쌍대 배럴 간의 사상으로 간주하는 바탕이 되는 Poincaré-Cartan 형식론을 사용하여 연속체 열역학 내 균형 시스템을 다중심플렉틱 기하학적 프레임워크로 개발한다. 이는 라그랑주 필드 이론을 일반화하여 구성론적 관계를 포함하는 것이다. 주요 기여는 균형 시스템의 통합된 변분 형식화로, 특히 유한성 이론(Rational Extended Thermodynamics, RET)에서 엔트로피 원리의 힐로노미 기반 기하적 특성화와 대칭성에 대한 노이터 유사 정리가 포함되어 있다.

ABSTRACT

In this paper we are presenting the theory of balance equations of the Continuum Thermodynamics (balance systems) in a geometrical form using Poincare-Cartan formalism of the Multisymplectic Field Theory. A constitutive relation $\mathcal{C}$ of a balance system $B_{C}$ is realized as a mapping between a (partial) 1-jet bundle of the configurational bundle $π:Y o X$ and the dual bundle similar to the Legendre mapping of the Lagrangian Field Theory. Invariant (variational) form of the balance system $B_{C}$ is presented in three different forms and the space of admissible variations is defined and studied. Action of automorphisms of the bundle $π$ on the constitutive mappings $C$ is studied and it is shown that the symmetry group $Sym(C)$ of the constitutive relation $C$ acts on the space of solutions of the balance system $B_{C}$. Suitable version of Noether Theorem for an action of a symmetry group is presented with the usage of conventional multimomentum mapping. Finally, the geometrical (bundle) picture of the Rational Extended Thermodynamics in terms of Lagrange-Liu fields is developed and the entropy principle is shown to be equivalent to the holonomicy of the current component of the constitutive section.

연구 동기 및 목표

• 라그랑주 필드 이론의 변분 프레임워크를 확장하여 연속체 열역학 내 균형 방정식을 다중심플렉틱 기하학을 사용해 기술하는 것.
• 특히 유한성 이론(RE)를 포함한 다양한 비가역 열역학 이론들을 하나의 기하적 구조 안에서 통합하는 것.
• 구성론적 섹션의 전류 성분에 대한 힐로노미 조건으로서 엔트로피 원리의 기하학적 특성화를 수립하는 것.
• 구성론적 관계의 대칭성에 대한 노이터 유사 정리를 개발하여 보존 법칙과 구성 배럴의 자동형사상 간의 연결 고리를 설정하는 것.
• 일반화된 레전드르 변환과 제트 및 쌍대 배럴 위의 다중심플렉틱 형식을 통해 균형 시스템의 캐논리컬 형식을 제공하는 것.

제안 방법

• 구성 배럴 $\pi: Y \to X$ 의 1차 제트 배럴 $J^1(\pi)$ 에서 Poincaré-Cartan 형식론을 사용하여 균형 시스템을 기술한다.
• 1차 제트 배럴에서 확장된 쌍대 배럴로의 일반화된 레전드르 변환을 도입하여 라그랑주 역학에서의 레전드르 매핑과 유사하게 한다.
• Poincaré-Cartan 형식에서 유도된 캐논리컬 다중심플렉틱 형식 $\Omega$ 를 통해 배럴 $\tilde{Z}$ 상의 다중심플렉틱 구조를 정의한다.
• 제트 구조를 유지하면서 복합형식에 대해 가환하는 수정된 외미분 $\hat{d}$ 를 도입한다.
• $\hat{d}$-연산자를 사용하여 균형 시스템의 불변(변분) 형식을 세 가지 등가의 표현 방식으로 정의한다: Poincaré-Cartan, 오일러-라그랑주, 및 감소된 수평 외미분.
• RET에 이 이론을 적용하기 위해 라그랑주-류 쌍대장을 도입하고, 구성론적 섹션의 전류 성분에 대한 힐로노미 조건이 엔트로피 원리에 해당함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속체 열역학 내 균형 시스템은 라그랑주 필드 이론과 유사한 변분적, 다중심플렉틱적 프레임워크로 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ2 구성론적 관계 $\mathcal{C}$ 는 상태 배럴과 그 쌍대 간의 관계를 어떻게 기하학적으로 수행하며, 이는 레전드르 변환을 어떻게 일반화하는가?
• RQ3 유한성 이론(RE) 내 엔트로피 원리는 기하학적으로 어떻게 나타나며, 구성론적 섹션에 대한 어떤 조건이 그 타당성을 보장하는가?
• RQ4 구성 배럴 $\pi$ 의 대칭성은 균형 시스템의 해 공간에 어떻게 작용하며, 이러한 대칭성으로부터 유도되는 보존 법칙은 무엇인가?
• RQ5 감소된 수평 외미분 $\hat{d}$ 는 균형 시스템의 변분 구조를 정의하는 데 어떤 역할을 하는가? 그리고 표준 de Rham 외미분과의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 구성론적 관계 $\mathcal{C}$ 는 부분 1차 제트 배럴 $J^1_K(\pi)$ 와 확장된 쌍대 배럴 $\tilde{Z}$ 간의 사상으로 표현되며, 레전드르 매핑을 일반화한다.
• 균형 시스템 $\mathcal{B}_\mathcal{C}$ 의 불변 형식은 세 가지 등가의 방식으로 표현되며, Poincaré-Cartan, 오일러-라그랑주, 감소된 수평 외미분으로 모두 다중심플렉틱 구조와 일치한다.
• 엔트로피 원리는 구성론적 섹션의 전류 성분에 대한 힐로노미 조건과 기하학적으로 동치이며, 전류 성분이 $\hat{d}$-연산자에 대해 닫혀져 있어야 한다는 의미이다.
• 구성론적 관계의 대칭군 $\mathrm{Sym}(\mathcal{C})$ 는 $\mathcal{B}_\mathcal{C}$ 의 해 공간에 작용하며, 다중모멘텀 맵을 사용하여 노이터 유사 정리를 수립한다.
• $\hat{d}$-연산자는 $\hat{d}^2 = 0$ 를 만족하고 접촉 형식을 제외한 복합형식에 대해 풀백과 가환하므로, 변분 구조가 배럴의 자동형사상에 대해 일관성을 유지함을 보장한다.
• RET의 경우, 라그랑주-류 장을 사용한 쌍대 형식화는 엔트로피 원리가 전류 성분이 힐로노믹하다는 것, 즉 $\hat{d}$-닫혀져 있다는 것과 동치임을 보여준다.