[논문 리뷰] Multitensor lifting and strictly unital higher category theory

Michael Batanin, Denis-Charles Cisinski외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 13.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 24인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 다중텐서에 대한 립팅 정리를 도입하여 카테고리적 프레임워크 내에서 Gray와 Crans의 텐서곱을 통합하며, 축약된 고차형 작용소를 통해 엄밀한 단위를 가진 약한 $n$-범주를 구성할 수 있도록 한다. 주요 기여는 엄밀한 단위를 가진 약한 $n$-범주 위에 릿지드 텐서곱을 정의하여 반복적 강화를 통해 엄밀한 단위를 가진 약한 $(n+1)$-범주를 생성하는 것이다. 이는 대수적 약한 인수분해 체계와 계약 가능한 축약된 $T_{\text{≤}n}$-작용소를 통해 형식화된다.

ABSTRACT

In this article we extend the theory of lax monoidal structures, also known as multitensors, and the monads on categories of enriched graphs that they give rise to. Our first principal result -- the lifting theorem for multitensors -- enables us to see the Gray tensor product of 2-categories and the Crans tensor product of Gray categories as part of this framework. We define weak n-categories with strict units by means of a notion of reduced higher operad, using the theory of algebraic weak factorisation systems. Our second principal result is to establish a lax tensor product on the category of weak n-categories with strict units, so that enriched categories with respect to this tensor product are exactly weak (n+1)-categories with strict units.

연구 동기 및 목표

• 다중텐서와 그에 관련된 모나드 이론을 확장하여 Gray와 Crans의 텐서곱을 특수한 경우로 포함시키는 것.
• 대수적 약한 인수분해 체계의 프레임워크 내에서 새로운 종류의 고차형 작용소—축약된 $\tT_{\text{≤}n}$-작용소—를 도입하여 엄밀한 단위를 가진 약한 $n$-범주를 정의하는 것.
• 엄밀한 단위를 가진 약한 $n$-범주 위에 릿지드 텐서곱을 정의하여 강화가 엄밀한 단위를 가진 약한 $(n+1)$-범주를 생성하도록 하는 것.
• 약한 단위를 가진 고차형 범주론에서 엄밀한 단위의 개념을 $\tT_{\text{≤}n}$-작용소의 계약 가능성 조건을 통해 형식화하는 것.

제안 방법

• 다중텐서에 대한 립팅 정리를 개발하여 강화된 그래프의 범주에 릿지드 모나드 구조를 구성함으로써 Day convolution을 일반화하고, Gray 텐서곱의 포함을 가능하게 함.
• 계약 가능성 조건이 결과 알제브라의 엄밀한 단위를 강제하는 새로운 종류의 고차형 작용소—축약된 $\tT_{\text{≤}n}$-작용소—를 도입함.
• 대수적 약한 인수분해 체계를 사용하여 엄밀한 단위를 가진 약한 $n$-범주의 작용소적 정의를 모델링함으로써 단위의 일관성과 엄밀함을 보장함.
• 자연변환의 단위성 조건과 트리 포함 사상과의 호환성을 포함한 구성 과정을 통해, 다중텐서 구조의 단위가 립팅 과정에서 유지됨을 보장함.
• 립팅 과정이 선택된 수축을 유지함을 보여주어, 수축이 있는 작용소와 없는 작용소 사이의 잘 정의된 수축을 구성함.
• 핵심 기술 도구는 립팅된 다중텐서 구조에서 단위의 일관성을 코딩하는 자연변환 $\nu_B: B \to rh(B)$이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Gray와 Crans의 텐서곱은 어떻게 다중텐서 립팅의 단일 프레임워크 내에서 체계적으로 통합될 수 있는가?
• RQ2 엄밀한 단위를 가진 약한 $n$-범주를 캐릭터라이즈하는 카테고리적 구조는 무엇이며, 이를 어떻게 작용소적으로 정의할 수 있는가?
• RQ3 다중텐서에 대한 립팅 정리는 고차형 범주론에서 엄밀한 단위의 개념과 어떻게 상호작용하는가?
• RQ4 엄밀한 단위를 가진 약한 $n$-범주 위에 릿지드 텐서곱을 반복적 강화에 사용하면 엄밀한 단위를 가진 약한 $(n+1)$-범주를 생성할 수 있는가?
• RQ5 고차형 작용소에 어떤 조건이 성립하면 그 알제브라가 엄밀한 단위를 가질 수 있으며, 이러한 작용소는 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 다중텐서에 대한 립팅 정리는 2-범주에 대한 Gray 텐서곱과 Gray 범주에 대한 Crans 텐서곱을 일반 프레임워크의 사례로 성공적으로 포함한다.
• 엄밀한 단위를 가진 약한 $n$-범주의 구성은 보편 계약 가능한 축약된 $\tT_{\text{≤}n}$-작용소의 알제브라를 통해 이루어지며, 이는 약한 $n$-범주의 작용소적 정의를 일반화한다.
• 엄밀한 단위를 가진 약한 $n$-범주의 범주 위에 릿지드 텐서곱 $\tL_{\text{≤}n}$를 식별하였으며, 이 텐서곱에 대한 강화된 범주는 정확히 엄밀한 단위를 가진 약한 $(n+1)$-범주임을 보여준다.
• 자연변환 $\nu_B: B \to rh(B)$는 선택된 수축과 트리 포함 사상과 호환되며, 이는 립팅 과정에서 단위성의 유지가 보장됨을 보장한다.
• 립팅 과정은 선택된 수축의 구조를 유지하므로, 수축이 있는 작용소와 없는 작용소 사이의 잘 정의된 수축을 구성할 수 있다.
• 이 프레임워크는 고차형 범주론에서 엄밀한 단위를 축약된 $\tT_{\text{≤}n}$-작용소의 계약 가능성으로 형식화할 수 있음을 보여주며, 단위성을 가진 고차형 범주론의 일관성 있고 대수적인 기반을 제공한다.