[논문 리뷰] Multivariable adjunctions and mates

Eugenia Cheng, Nick Gurski외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 22.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다변수 수반 관계와 그들의 메이트 대응을 형식화하기 위한 프레임워크로 순환 이중 다중범주(cyclic double multicategories)를 제안한다. 이는 고전적인 1변수 메이트 동형사상(1-variable mates isomorphism)을 n변수 설정으로 일반화한다. 다변수 수반 관계—예를 들어 텐서/함수/코텐서 함자들—이 순환 이중 다중범주를 이룬다는 것을 입증하며, 이는 풍부화된(category-theoretic) 및 대수적 모델 범주 간 등가 표현 간의 원활한 번역을 가능하게 한다. 이는 대수적 모나드 모델 범주와 awfs 조합(composition)에 응용된다.

ABSTRACT

We present the notion of "cyclic double multicategory", as a structure in which to organise multivariable adjunctions and mates. The classic example of a 2-variable adjunction is the hom/tensor/cotensor trio of functors; we generalise this situation to n+1 functors of n variables. Furthermore, we generalise the mates correspondence, which enables us to pass between natural transformations involving left adjoints to those involving right adjoints. While the standard mates correspondence is described using an isomorphism of double categories, the multivariable version requires the framework of "double multicategories". Moreover, we show that the analogous isomorphisms of double multicategories give a cyclic action on the multimaps, yielding the notion of "cyclic double multicategory". The work is motivated by and applied to Riehl's approach to algebraic monoidal model categories.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 1변수 메이트 대응을 다변수 수반 관계로 일반화하기 위해.
• 텐서/함수/코텐서 삼중성과 같은 다변수 수반 관계에 내재된 순환 대칭성을 형식화하기 위해.
• 다변수 수반 관계와 그 변환을 조직화하기 위한 체계적인 프레임워크—즉, 순환 이중 다중범주—제공하기 위해.
• 이 프레임워크를 대수적 모노이드 모델 범주에 적용하여, 특히 awfs(algebraic weak factorization systems)의 맥락에서의 응용을 위해.
• awfs의 다변수 수반 관계가 일관되게 조합되며, 메이트 조건을 유지함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 하나의 변수를 고정할 때마다 수반 관계를 가지는 n개의 변수를 가진 n+1개의 함자로 다변수 수반 관계를 정의한다.
• 다중사상과 고차원 함자를 다룰 수 있도록 이중 범주(dual categories)의 일반화로 이중 다중범주(double multicategories)를 도입한다.
• 특수한 치환(예: (•) = ( )op)를 통한 순환 작용을 다중범주 구조에 도입하여 순환 이중 다중범주를 구성한다.
• 1변수 경우의 일반화로, 왼쪽 및 오른쪽 수반 함자를 포함하는 자연 변환 간의 관계를 메이트 대응을 통해 기술한다.
• 수반 관계와 다변수 수반 관계를 유지하는 의사-함자( pseudo-functor ) ˆ( )를 구성하며, 이는 awfs의 구조를 다룰 때 핵심적이다.
• awfs 맥락에서의 매개변수화된 메이트(αi)가 순환 이중 다중범주 프레임워크를 통해 요구되는 일관성을 만족함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적인 메이트 대응을 1변수에서 n변수 수반 관계로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 텐서/함수/코텐서와 같은 다변수 수반 관계에서 관찰되는 순환 대칭성을 가장 잘 포착하는 범주론적 구조는 무엇인가?
• RQ3 대수적 약한 인수분해 체계(awfs)의 다변수 수반 관계는 메이트 조건을 유지하면서 조합될 수 있는가?
• RQ4 순환 이중 다중범주 프레임워크는 풍부화된 범주론에서 등가 표현 간의 원활한 번역을 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ5 의사-함자 ˆ( )는 수반 관계를 유지하고, awfs의 다변수 수반 관계를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 텐서/함수/코텐서 삼중성과 같은 다변수 수반 관계는 내재된 순환 대칭성을 포착하는 순환 이중 다중범주를 이룬다.
• 이중 다중범주의 동형사상에 의해 일반화된 메이트 대응은 이제 순환 작용을 지닌다.
• 수반 관계와 특히 다변수 수반 관계를 유지하는 ˆ( )의 구성은 표기법이 복잡하지만 철저한 증명을 통해 입증된다.
• awfs의 다변수 수반 관계는 새로운 awfs의 다변수 수반 관계를 생성하는 방식으로 조합되며, 이 조합은 메이트 조건을 유지한다.
• 이 프레임워크는 단순형 복합체에서 칸 복합체로의 호 공간이 다시 칸 복합체임을 체계적이고 대수적으로 증명한다. 이는 awfs의 2변수 수반 관계를 통해 이루어진다.
• 이 결과는 V-모델 범주 간 V-함수의 총 동형 유도 함자(total derived functors)가 호모토피 범주에서의 V에 대한 표준적 풍부화를 갖는다는 것을 의미한다. 이는 일관된 메이트와 조합을 통해 도출된다.