[논문 리뷰] Multivariable backward-shift-invariant subspaces and observability operators

Joseph A. Ball, Vladimir Bolotnikov외 1명|ArXiv.org|2006. 10. 20.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 단일 변수에서 다중 변수로의 고전적 후방 이동 불변 부분공간과 관측 가능성 연산자를 확장하며, 비가환 Fock 공간과 가환 Arveson 공간을 분석한다. 출력 안정성 다차원 선형 시스템이 관측 가능성 연산자를 유도하며 그 범위가 재생 핵 힐버트 공간이 되며, 비가환 및 가환 Fornasini-Marchesini 시스템을 통해 시스템 이론과 함수 해석 모델을 연결한다.

ABSTRACT

It is well known that subspaces of the Hardy space over the unit disk which are invariant under the backward shift occur as the image of an observability operator associated with a discrete-time linear system with stable state-dynamics, as well as the functional-model space for a Hilbert space contraction operator. We discuss two multivariable extensions of this structure, where the classical Hardy space is replaced by (1) the Fock space of formal power series in a collection of $d$ noncommuting indeterminates with norm-square-summable vector coefficients, and (2) the reproducing kernel Hilbert space (often now called the Arveson space) over the unit ball in ${\mathbb C}^{d}$ with reproducing kernel $k(λ, ζ) = 1/(1 - < λ, ζ>)$ ($\lam, ζ\in {\mathbb C}^{d}$ with $\| λ\|, \| ζ\| < 1$). In the first case, the associated linear system is of noncommutative Fornasini-Marchesini type with evolution along a free semigroup with $d$ generators, while in the second case the linear system is a standard (commutative) Fornasini-Marchesini-type system with evolution along the integer lattice ${\mathbb Z}^{d}$. An abelianization map (or symmetrization of the Fock space) links the first case with the second. The second case has special features depending on whether the operator-tuple defining the state dynamics is commutative or not. The paper focuses on multidimensional state-output linear systems and the associated observability operators.

연구 동기 및 목표

• 고전적 후방 이동 불변 부분공간과 관측 가능성 연산자를 단일 변수에서 다변수 설정으로 일반화하기 위해.
• 자유 반군 진동을 갖는 비가환 Fock 공간에서 다차원 상태-출력 선형 시스템을 분석하기 위해.
• 관측 가능성 연산자의 범위와 재생 핵 힐버트 공간 간의 연결 고리를 가환 Arveson 공간 설정에서 확립하기 위해.
• 아벨화 사상(abelianization map)을 통해 비가환 및 가환 프레임워크를 통합하기 위해.
• 다차원 시스템 이론에서 관측 가능성 연산자를 통해 연산자 튜플을 모델링하기 위한 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• d개의 비가환 독립변수에서 형식적 거듭제곱급수의 비가환 Fock 공간을 사용하며, 계수의 제곱 노름 합이 수렴하는 조건을 만족한다.
• 자유 반군 위에서 비가환 Fornasini-Marchesini 시스템의 관측 가능성 연산자를 Z-변환된 시스템 궤적을 통해 정의한다.
• 비가환 설정에서 스텐 방정식과 관측 가능성 연산자의 유계성 여부를 통해 출력 안정성을 분석한다.
• 유사한 프레임워크를 단위 구 위의 가환 Arveson 공간에 적용하며, 커널 $ k(\lambda,\zeta) = 1/(1 - \langle\lambda,\zeta\rangle) $ 를 사용하고, 격자 기반의 진동을 적용한다.
• 비가환 Fock 공간과 가환 Arveson 공간를 연결하기 위해 아벨화 사상을 도입한다.
• 관측 가능성 연산자를 통해 연산자 튜플과 불변 부분공간 위의 압축된 이동 연산자 간의 유니터리 동치를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Hardy 공간에서 비가환 Fock 공간으로의 후방 이동 불변 부분공간 일반화는 d변수에서 어떻게 이루어지는가?
• RQ2 비가환 설정에서 관측 가능성 연산자가 범위를 재생 핵 힐버트 공간으로 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 가환 및 비가환 다차원 시스템은 기능적 모델 실현 방식에서 어떻게 다름이 있는가?
• RQ4 비가환 및 가환 다변수 시스템을 연결하는 데 있어 아벨화 사상의 의미는 무엇인가?
• RQ5 가환 경우의 관측 가능성 연산자는 행 수축성 연산자 튜플에 대해 기능적 모델을 실현할 수 있는가?

주요 결과

• 비가환 설정에서 출력 안정성 쌍 (C, A) 는 범위가 Fock 공간 내 재생 핵 힐버트 공간이 되는 유계 관측 가능성 연산자를 유도한다.
• 비가환 설정에서 관측 가능성 연산자의 범위는 시스템과 관련된 기능적 모델 공간과 등급 등장(isometrically isomorphic)이다.
• 가환 Arveson 공간에서 출력 안정성, 행 수축성, 점점이 안정된 연산자 튜플은 관측 가능성 연산자를 통해 기능적 모델을 갖는다.
• 가환 설정에서 관측 가능성 연산자의 범위는 Arveson 공간의 후방 이동 불변 부분공간이며, 기능적 모델과 등장(isomorphic)이다.
• 일반적인 모델 이론을 확립: 결함 연산자 $ D_{{\mathbf{T}}^{*}} $ 가 잘 정의되어 있고 $ \mathbf{T}^* $ 가 안정성 조건을 만족한다면, $ \mathcal{O}_{D_{{\mathbf{T}}^{*}},{\mathbf{T}}^{*}} $ 는 $ \mathbf{T} $ 와 불변 부분공간 위의 곱셈 튜플의 압축 사이의 유니터리 동치를 실현한다.
• 결과들은 아벨리안 스키프 모델을 통해 가환 행 수축성에 대한 von Neumann 부등식을 복구하고 일반화한다.