[논문 리뷰] Multivariate analysis of short time series in terms of ensembles of correlation matrices

Manan Vyas, Thomas Guhr외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 23.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 43인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다변량 단기 시계열을 분석하기 위해 고유하지 않은 부분 집합을 무작위로 추출하는 새로운 앙상블 기법을 제안한다. 이 기법은 크기가 큰 그러나 특이적인 데이터 행렬에서 시간 시리즈의 비특이 부분 집합을 랜덤으로 추출함으로써, 상관 행렬의 고유값에 대한 강력한 통계 분석을 가능하게 한다. 이 방법은 특이한 상관 행렬에서의 열악한 통계를 보완하기 위해 비특이 상관 행렬의 앙성블을 생성함으로써, 전체 고유값 분포와 이질적 고유값을 성공적으로 포착한다. 상관된 위샤르트 앙상블의 수치 시뮬레이션과 해석 결과 간에 강한 일치를 보인다.

ABSTRACT

When dealing with non-stationary systems, for which many time series are available, it is common to divide time in epochs, i.e. smaller time intervals and deal with short time series in the hope to have some form of approximate stationarity on that time scale. We can then study time evolution by looking at properties as a function of the epochs. This leads to singular correlation matrices and thus poor statistics. In the present paper, we propose an ensemble technique to deal with a large set of short time series without any consideration of non-stationarity. Given a singular data matrix, we randomly select subsets of time series and thus create an ensemble of non-singular correlation matrices. As the selection possibilities are binomially large, we will obtain good statistics for eigenvalues of correlation matrices, which are typically not independent. Once we defined the ensemble, we analyze its behavior for constant and block-diagonal correlations and compare numerics with analytic results for the corresponding correlated Wishart ensembles. We discuss differences resulting from spurious correlations due to repetitive use of time-series. The usefulness of this technique should extend beyond the stationary case if, on the time scale of the epochs, we have quasi-stationarity at least for most epochs.

연구 동기 및 목표

• N >> T 인 단기 시계열에서 유도된 상관 행렬의 통계적 신뢰성이 낮은 문제를 해결하기 위해, 고유값이 T−1개 이외의 고유값을 가지는 특이 행렬이 발생하는 문제를 해결한다.
• 정상성을 가정하지 않고도 고유값 분포(특히 이질적 고유값과 전체 스펙트럼)에 대한 강력한 통계 분석을 가능하게 하는 방법을 개발한다.
• 블록 대각형 및 일정한 상관관계를 가진 모델 시스템에 대해 이 방법을 적용하고, 수치 결과를 관련된 위샤르트 앙상블의 해석적 예측과 비교한다.
• 앙성블 구성 시 시간 시리즈의 반복 사용이 고유값 이질적 고유값 분포에 미치는 영향을 조사한다.
• 비정상적이거나 준정상적 시스템에서의 불안정성 또는 임계 전이의 조기 신호를 탐지하는 데 이 방법의 유용성을 보여준다.

제안 방법

• N >> T 이므로 특이한 상관 행렬을 유도하는 N × T 크기의 데이터 행렬을 구성한다. 이 경우 고유값은 T−1개의 비영 고유값만을 가진다.
• 원본 N개의 시간 시리즈 중에서 중복 없이 m개를 무작위로 선택하여 m × T 크기의 데이터 행렬 m개의 앙성블을 구성한다. 이때 각 행렬 내에서 시간 시리즈가 중복되지 않으며, 앙성블 내의 행렬들 간에도 동일한 행렬이 존재하지 않는다.
• 각 선택된 부분 집합에 대해 상관 행렬을 계산함으로써, 비특이 상관 행렬의 집합을 생성한다. 이 집합은 비특이 랜덤 선택 앙성블(NSRSE)을 이룬다.
• 앙성블의 고유값 밀도와 이질적 고유값 분포(가장 큰 고유값과 두 번째로 큰 고유값)를 분석하고, 시간 시리즈를 복원 추출하는 방식인 경험적 랜덤 선택 앙성블(ERSE)과 비교한다.
• 고유값 분포, 특히 꼬리 부분과 이질적 고유값에 대해 사다리점 근사와 미세역도/정준 정규화를 사용하여 모델링한다.
• 일정한 상관관계 및 블록 대각형 상관관계를 가진 관련 위샤르트 앙성블의 해석적 해와의 일치성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 N >> T 인 단기 시계열에서 유도된 특이 상관 행렬로부터 고유값 통계를 신뢰성 있게 추출할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 반복 없이 추출하는 방식(NSRSE)과 반복하여 추출하는 방식(ERSE)이 고유값 이질적 고유값 분포에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 앙성블의 고유값 분포가 일정하거나 블록 대각형 상관관계를 가진 관련 위샤르트 앙성블의 해석적 예측과 어느 정도 일치하는가?
• RQ4 앙성블 구성 시 시간 시리즈의 반복 사용이 고유값 이질적 고유값의 통계적 성질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 앙성블 방법은 개별 상관 행렬이 특이한 경우에도 비정상적 시스템에서의 불안정성 또는 임계 전이의 조기 징후를 탐지하는 데 효과적인가?

주요 결과

• NSRSE 방법은 특이한 데이터 행렬에서 강력하고 비특이적인 상관 행렬의 앙성블을 성공적으로 생성함으로써 고유값 분포에 대한 신뢰성 있는 통계 분석을 가능하게 한다.
• 앙성블의 전체 고유값 밀도는 일정 및 블록 대각형 상관관계를 가진 관련 위샤르트 앙성블의 해석적 예측과 매우 유사하게 일치한다.
• NSRSE에서의 이질적 고유값(가장 큰 고유값과 두 번째로 큰 고유값)은 정규분포로 잘 근사되며, 반복된 시간 시리즈 사용으로 인해 ERSE와 비교해 모멘트가 상당히 다름을 보인다.
• ERSE에서 시간 시리즈의 반복 사용은 앙성블 구성원 간의 상관관계를 강화시켜 이질적 고유값 분포를 왜곡시키고 NSRSE 대비 분산을 증가시킨다.
• 이 방법은 단지 전체 시간 시리즈의 일부만을 사용해도 고유값 스펙트럼의 힘의 법칙적 행동과 같은 스펙트럼 특징을 효과적으로 포착할 수 있다. 이는 이징 모델 시뮬레이션을 통해 입증되었다.
• 앙성블 접근법은 기존에 단일 특이 상관 행렬에서 접근할 수 없었던 고차원 상관 함수(예: 이중 및 삼중 함수)의 분석을 가능하게 한다.