[논문 리뷰] Multivariate approximation by polynomial and generalised rational functions

R. Díaz Millán, Vinesha Peiris외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 28.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 유리 함수를 사용한 다변수 체비세프 근사에 최적화 기반 접근법을 제안하며, 해당 최적화 문제가 쌍선형임을 보이며 이는 이분법과 선형계획법을 조합해 해결 가능하다는 것을 입증한다. 다항식 근사보다는 계산 비용이 더 높지만, 부드럽지 않은 함수나 리프시츠 조건을 만족하지 않는 함수에 대해 더 뛰어난 근사 정확도를 달성한다.

ABSTRACT

In this paper we develop an optimisation based approach to multivariate Chebyshev approximation on a finite grid. We consider two models: multivariate polynomial approximation and multivariate generalised rational approximation. In the second case the approximations are ratios of linear forms and the basis functions are not limited to monomials. It is already known that in the case of multivariate polynomial approximation on a finite grid the corresponding optimisation problems can be reduced to solving a linear programming problem, while the area of multivariate rational approximation is not so well understood.In this paper we demonstrate that in the case of multivariate generalised rational approximation the corresponding optimisation problems are quasiconvex. This statement remains true even when the basis functions are not limited to monomials. Then we apply a bisection method, which is a general method for quasiconvex optimisation. This method converges to an optimal solution with given precision. We demonstrate that the convex feasibility problems appearing in the bisection method can be solved using linear programming. Finally, we compare the deviation error and computational time for multivariate polynomial and generalised rational approximation with the same number of decision variables.

연구 동기 및 목표

• 이전에 단변수 설정에서 사용된 일반화된 유리 근사 기법을 다변수 함수로 확장하기 위해.
• 비단항식 기저 함수를 사용하는 경우에도 다변수 일반화된 유리 근사 문제의 쌍선형성이 유지됨을 입증하기 위해.
• 이분법과 볼록 타당성 부분문제를 활용한 안정적이고 수렴하는 알고리즘을 개발하기 위해.
• 동일한 결정 변수 수를 가진 다변수 다항식 근사와 일반화된 유리 근사의 성능을 비교하기 위해.
• 다항식 근사가 비효율적인 비연속성과 비리프시츠 함수에 대해 이 방법의 효과성을 평가하기 위해.

제안 방법

• 논문은 다변수 체비세프 근사를 다항식 및 일반화된 유리 함수 모두에 대해 쌍선형 최적화 문제로 공식화한다.
• 일반화된 유리 근사 문제를 해결하기 위해 일반적인 쌍선형 최적화 기법인 이분법을 적용한다.
• 각 이분법 단계에서 유한 격자 위에서 근사할 경우, 타당성 부분문제가 선형 프로그래밍 문제로 간소화된다.
• 기저 함수가 단항식으로 제한되지 않은 선형형식의 비율을 사용하여, 다각도의 근사 구조를 가능하게 한다.
• 알고리즘은 주어진 정밀도 내에서 최적 해로 수렴함을 보장한다.
• 수치 실험을 통해 동일한 파라미터 수를 가진 다항식 모델과 일반화된 유리 모델 간의 근사 오차와 계산 시간을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 유리 근사 기법을 비단항식 기저 함수를 포함하는 다변수 함수로 효과적으로 확장할 수 있으며, 최적화 문제의 쌍선형성이 유지되는가?
• RQ2 다항식 근사와 비교했을 때 다변수 일반화된 유리 근사의 오차 및 계산 시간 성능은 어떠한가?
• RQ3 비연속성과 비리프시츠 함수에 대해 일반화된 유리 근사가 다항식 근사보다 뛰어난 성능을 보이는가?
• RQ4 비단항식 기저 함수를 가진 다변수 일반화된 유리 근사 문제에 대해 이분법이 효율적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 일반화된 유리 함수를 다항식과 비교했을 때 계산 비용과 근사 정확도 사이의 상충 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 기저 함수가 단항식이 아닐 경우에도 다변수 일반화된 유리 근사 문제의 쌍선형성은 유지되어 이분법 적용이 가능하다.
• 이분법은 정해진 정밀도 내에서 최적 해로 수렴하며, 타당성 부분문제가 유한 격자 위에서 선형계획법으로 해결 가능하다.
• 동일한 결정 변수 수를 가진 상황에서 일반화된 유리 근사의 최대 편차는 0.1720으로, 다항식 근사의 높은 오차보다 유의미하게 낮다.
• 일반화된 유리 근사의 계산 시간은 약 12분(725.2468초)이었으며, 다항식 근사의 경우 1분 미만이었다.
• 다른 계산 비용이 더 높지만, 일반화된 유리 함수는 비연속성과 비리프시츠 함수(예: 테스트 함수 f(x,y))에서 급격한 변화를 더 잘 포착한다.
• 결과적으로 유리 근사식은 R(A,B,x,y) = (0.1720 + 6.6221x² + 6.6221y²) / (1 + 4.9000x² + 4.9036y²)로, 효과적인 형태 복원을 보여준다.