[논문 리뷰] Multivariate extensions of the Multilevel Best Linear Unbiased Estimator for ensemble-variational data assimilation

Mayeul Destouches, Paul Mycek외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 06. 12.

Soil Geostatistics and Mapping참고 문헌 14인용 수 8

한 줄 요약

이 기술 보고서는 MLBLUE를 다차원 케이스로 확장하고, 무작위 벡터 및 공분산 행렬에 대한 여러 다단계 추정기를 제안하며, 분산 최소화 하에서 최적 가중화, 위치화 및 MOSAP를 논의한다.

ABSTRACT

Multilevel estimators aim at reducing the variance of Monte Carlo statistical estimators, by combining samples generated with simulators of different costs and accuracies. In particular, the recent work of Schaden and Ullmann (2020) on the multilevel best linear unbiased estimator (MLBLUE) introduces a framework unifying several multilevel and multifidelity techniques. The MLBLUE is reintroduced here using a variance minimization approach rather than the regression approach of Schaden and Ullmann. We then discuss possible extensions of the scalar MLBLUE to a multidimensional setting, i.e. from the expectation of scalar random variables to the expectation of random vectors. Several estimators of increasing complexity are proposed: a) multilevel estimators with scalar weights, b) with element-wise weights, c) with spectral weights and d) with general matrix weights. The computational cost of each method is discussed. We finally extend the MLBLUE to the estimation of second-order moments in the multidimensional case, i.e. to the estimation of covariance matrices. The multilevel estimators proposed are d) a multilevel estimator with scalar weights and e) with element-wise weights. In large-dimension applications such as data assimilation for geosciences, the latter estimator is computationnally unaffordable. As a remedy, we also propose f) a multilevel covariance matrix estimator with optimal multilevel localization, inspired by the optimal localization theory of Ménétrier and Auligné (2015). Some practical details on weighted MLMC estimators of covariance matrices are given in appendix.

연구 동기 및 목표

• 다중 충실도에서 편향 제로 추정을 위한 다단계 추정기의 분산-최소화 구성의 동기를 부여한다.
• MLBLUE를 스칼라 기대값에서 무작위 벡터와 공분산 행렬로 확장한다.
• 스칼라 가중치, 현장 가중치, 매트릭스 가중치를 가지는 추정기들을 제안하며, 기저 변화 및 위치화 접근법을 포함한다.
• 대규모 지구과학 애플리케이션에서 예산 제약하의 계산 비용, 샘플 할당 및 모델 선택에 대해 논의한다.

제안 방법

• 편향 제로 제약 하에서 분산 최소화를 통해 최적 가중치를 도출하도록 MLBLUE를 재정식화한다.
• 평균 추정을 무작위 벡터의 기대값으로 일반화하고 현장 및 매트릭스 가중치를 가지는 다차원 MLBLUE를 도출한다.
• 고차원 출력에 대응하기 위해 스칼라 가중치, 현장 가중치, 기저 변환이 포함된 현장 가중치를 도입한다.
• 최적 위치화 이론에서 영감을 받은 위치화를 사용한 공분산 추정 및 공분산 행렬에 프레임워크를 확장한다.
• 예산 제약하에서 모델 선택을 위한 MOSAP 접근법과 세미디파인 프로그래밍 형식을 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 MLBLUE 프레임워크를 스칼라 기대값에서 무작위 벡터 및 그들의 공분산 구조로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 무편향성 제약 하에서 다차원 MLBLUE에 대한 최적 가중 체계(스칼라, 현장, 매트릭스)는 무엇인가?
• RQ3 큰 차원에서의 위치화를 포함하여 MLBLUE에 공분산 추정을 어떻게 통합하고, 계산적으로 실행 가능한 전략은 무엇인가?
• RQ4 편향 없이 추정 분산을 최소화하면서 비용 의식적인 샘플 할당 및 모델 선택 방법은 무엇인가?
• RQ5 지구과학 데이터 동화에서 공분산 행렬에 대해 다단위 위치화를 최적 설계할 수 있는가?

주요 결과

• MLBLUE의 분산 최소화 도출은 다차원 추정기에 대해 명시적인 최적 가중치를 산출한다.
• 스칼라 가중치, 현장 가중치, 및 매트릭스 가중치 체계는 MLBLUE를 무작위 벡터로 확장하고 공간 의존적 및 기저 변환된 추정기를 허용한다.
• 공분산 추정 및 위치화를 통합할 수 있으며, 실용적인 대형 문제에 대해 차원이 증가할수록 선형적으로 확장되는 접근법이다.
• 세미디파인 프로그래밍을 통한 실용적 MOSAP 구성은 예산 제약 하의 모델 선택 및 샘플 할당을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 분산의 볼록성 속성이 증명 가능한 스칼라 기대값, 무작위 벡터, 그리고 공분산 행렬의 추정 지원한다.