[논문 리뷰] Multivariate normal approximation on the Wiener space: new bounds in the convex distance

Ivan Nourdin, Giovanni Peccati외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 07.

Random Matrices and Applications참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 가우시안 장의 스무ooth 기능성들의 벡터의 분포와 정규 분포(양의 정부호 공분산을 가짐) 사이의 볼록 거리에 대해 날카롭고 명시적인 경계를 설정한다. Malliavin-Stein 방법과 Schulte 및 Yukich(2019)가 최근 개발한 볼록 거리에 대한 재귀적 추정을 조합함으로써, 저자들은 1-Wasserstein 거리의 경계와 동일한 결과를 도출한다. 이는 추가적인 로그 인자 없이 이루어지며, 이는 다변량 비.i.i.d. 설정에서 최적의 정량적 근사치를 제공한다.

ABSTRACT

We establish explicit bounds on the convex distance between the distribution of a vector of smooth functionals of a Gaussian field, and that of a normal vector with a positive definite covariance matrix. Our bounds are commensurate to the ones obtained by Nourdin, Peccati and Réveillac (2010) for the (smoother) 1-Wasserstein distance, and do not involve any additional logarithmic factor. One of the main tools exploited in our work is a recursive estimate on the convex distance recently obtained by Schulte and Yukich (2019). We illustrate our abstract results in two different situations: (i) we prove a quantitative multivariate fourth moment theorem for vectors of multiple Wiener-Itô integrals, and (ii) we characterise the rate of convergence for the finite-dimensional distributions in the functional Breuer-Major theorem.

연구 동기 및 목표

• 가우시안 장의 스무oothing 기능성들의 벡터와 다변량 정규 분포 사이의 볼록 거리에 대해 명시적이고 최적의 경계를 도출하는 것.
• 고차원 가우시안 근사에서 볼록 거리와 1-Wasserstein 거리 경계 사이의 격차를 메우는 것.
• 다중 위erner-이토 적분에 대한 정량적 다변량 네 번째 모멘트 정리의 수립.
• 볼록 거리를 사용하여 기능적 Breuer-Major 정리에서 수렴 속도를 특성화하는 것.

제안 방법

• 위너 공간에서 정규 근사에 대해 Malliavin-Stein 방법을 활용한다.
• Schulte 및 Yukich(2019)가 최근 개발한 볼록 거리에 대한 재귀적 추정을 적용한다.
• 가우시안 장의 스무oothing 기능성을 표현하기 위해 위너-이토 카오스 전개를 사용한다.
• Nourdin, Peccati, 및 Réveillac(2010)가 도출한 1-Wasserstein 거리 추정과 동일한 경계를 도출하며, 로그 인자를 추가로 포함하지 않는다.
• 이 프레임워크를 두 가지 핵심 설정에 적용한다: 다변량 네 번째 모멘트 정리와 기능적 Breuer-Major 정리.
• Wasserstein 거리로의 볼록 거리 제어를 위해 등고선 상수 Γ(Σ)를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 가우시안 근사에서 볼록 거리 경계를 1-Wasserstein 거리 경계만큼 날카롭게 만들 수 있는가? 로그 인자를 추가로 포함하지 않고 말이다?
• RQ2 Schulte 및 Yukich(2019)의 재귀적 볼록 거리 추정은 어떻게 위너 공간 설정에 적응시킬 수 있는가?
• RQ3 다변량 정규 근사에서 다중 위너-이토 적분의 볼록 거리에서 최적의 네 번째 모멘트 조건은 무엇인가?
• RQ4 기능적 Breuer-Major 정리에서 유한 차원 분포의 수렴 속도는 볼록 거리 기준으로 어떻게 되는가?
• RQ5 Wasserstein 거리를 중간 단계로 삼지 않고, Malliavin 미분 노름으로 직접 볼록 거리를 경계할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 Nourdin, Peccati, 및 Réveillac(2010)의 1-Wasserstein 경계와 동등한 볼록 거리 경계를 설정한다. 추가적인 로그 인자가 없이 말이다.
• 유도된 경계는 절대 상수까지의 상한에서 최적임을 보여주며, 이는 최고의 알려진 1-Wasserstein 추정과 일치한다.
• 다중 위너-이토 적분의 벡터에 대해 새로운 다변량 네 번째 모멘트 정리를 증명하였으며, 네 번째 모멘트 조건이 볼록 거리 수렴에 충분함을 보여준다.
• 기능적 Breuer-Major 정리에서 수렴 속도는 볼록 거리를 통해 특성화되었으며, 이는 확률 과정에 대한 날카운 정량적 극한 정리이다.
• 경계 $ d_c(\textbf{F}, N_Σ) \leq 2\sqrt{2} \Gamma(\Sigma)^{1/2} d_W(\textbf{F}, N_\Sigma)^{1/2} $ 가 확립되었으며, $ \Gamma(\Sigma) $ 는 등고선 상수이다.
• 결과들은 애핀 변환에 대해 강건하며, 볼록 거리의 불변성 성질을 유지한다.