[논문 리뷰] Multivariate Regular Variation of Discrete Mass Functions with Applications to Preferential Attachment Networks

Tiandong Wang, Sidney I. Resnick|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 10.

Complex Network Analysis Techniques참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 선호적 첨부 네트워크와 같은 이산 다변량 질량 함수가 연속 밀도로 임bedding됨에 따라 정규적으로 변화하는 조건을 설정한다. 이는 이러한 네트워크에서의 공동 입/출도 분포가 비표준 정규적으로 변화함을 증명하며, 복잡한 네트워크에서의 멱법칙 행동에 응용되는 이산 설정으로 다변량 정규적 변화 이론을 확장한다.

ABSTRACT

Regular variation of a multivariate measure with a Lebesgue density implies the regular variation of its density provided the density satisfies some regularity conditions. Unlike the univariate case, the converse also requires regularity conditions. We extend these arguments to discrete mass functions and their associated measures using the concept that the the mass function can be embedded in a continuous density function. We give two different conditions, monotonicity and convergence on the unit sphere, both of which can make the discrete function embeddable. Our results are then applied to the preferential attachment network model, and we conclude that the joint mass function of in- and out-degree is embeddable and thus regularly varying.

연구 동기 및 목표

• 연속 밀도에서의 다변량 정규적 변화 이론을 이산 질량 함수로 다변량 설정에서 확장한다.
• 이산 질량 함수가 연속 함수로 임bedding될 수 있는 충분조건—단조성과 단위 구면에서의 수렴—을 규명한다.
• 이론을 선호적 첨부 네트워크에 적용하여, 입/출도가 멱법칙 행동을 보임을 확인한다.
• 첨부 비율이 다를 경우 비표준 스케일링 하에서 공동 입/출도 질량 함수가 정규적으로 변화함을 보여준다.
• 네트워크 모델에서 관련 측도의 정규적 변화와 이산 질량 함수 사이의 격차를 메운다.

제안 방법

• 이산 질량 함수를 연속 밀도 함수로 임bedding하여 정규적 변화 성질을 이전하는 개념을 사용한다.
• 두 가지 임bedding 조건을 적용한다: 질량 함수의 단조성과 단위 구면에서 정규화된 함수의 수렴.
• 카라마타의 표현과 지배 수렴 정리를 사용하여 감마 함수를 포함하는 적분의 점근적 행동을 분석한다.
• 스티링어의 공식 변형(보조정리 4.1)을 적용하여 컴팩트 세트에서 감마 함수 비율의 균일 수렴을 확립한다.
• 변수 변환을 통한 적분 변환을 통해 지수 및 멱법칙 항을 포함하는 한계 적분으로 수렴을 분석한다.
• 코로나리 4.1을 사용하여 임bedded 함수의 정규적 변화를 원래 이산 질량 함수와 연결하여, 한계 함수가 양수이자 유계임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 이산 다변량 질량 함수가 정규적 변화를 유지하는 연속 함수로 임bedding될 수 있는가?
• RQ2 다변량 설정에서 이산 질량 함수의 정규적 변화는 그에 관련된 측도의 정규적 변화와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 입/출도 첨부 비율이 다를 경우 선호적 첨부 네트워크에서 공동 입/출도 분포는 정규적으로 변화하는가?
• RQ4 이러한 네트워크에서 공동 차수 분포의 점근적 행동은 다변량 정규적 변화를 통해 특징지을 수 있는가?
• RQ5 질량 함수의 임bedding은 이산적, 꼬리가 두꺼운 네트워크 모델에서 정규적 변화를 확립하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $ c_1 \neq c_2 $ 인 선호적 첨부 모델에서의 공동 입/출도 질량 함수 $ p(i,j) $ 는 스케일링 함수 $ b_1(t) = t^{c_1} $, $ b_2(t) = t^{c_2} $ 를 갖는 비표준 정규적으로 변화한다.
• 정규화된 질량 함수의 한계 함수는 원점에서 멀리 떨어진 컴팩트 세트에서 균일 수렴한다. 이는 식 (4.9) 및 (4.10)에 의해 보여진다.
• 집합 $ \tilde{\bf E}_0 $ 에서 한계 함수는 양수이자 유계이며, 이는 이산 케이스에서의 정규적 변화 조건을 충족한다.
• (4.8)의 적분이 $ e^{-(x/z + y/z^a)} $ 를 포함하는 한계 적분으로 수렴함을 확인함으로써 꼬리 행동의 점근적 형태가 확인된다.
• 결과는 이산 질량 함수의 정규적 변화가 관련 측도의 정규적 변화를 암시함을 확인하며, [25, 26]의 결과와 일치한다.
• 보조정리 4.1의 적용은 감마 함수 비율의 균일 수렴을 보장하며, 이는 한계 함수의 정규성 확립에 필수적이다.