[논문 리뷰] Musielak-Orlicz Hardy Spaces Associated with Operators and Their Applications

Dachun Yang, Sibei Yang|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 26.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 60인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 두 배 측도를 가진 메트릭 측도 공간에서 비음수 자기수반 연산자 $L$가 Davies-Gaffney 추정을 만족할 때, Musielak-Orlicz-Hardy 공간 $H_{\phi,L}(X)$를 도입한다. 원자 및 분자의 특성화를 수립하고, 쌍대 공간이 Musielak-Orlicz BMO 유형 공간임을 증명하며, 이 결과들을 $\mathbb{R}^n$ 상의 슈뢰딩거 연산자에 적용하여, 성장 함수 $\phi$에 대한 일정한 조건 하에서 Riesz 변환이 $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 에서 $L_\phi(\mathbb{R}^n)$ 과 $H_\phi(\mathbb{R}^n)$ 로의 유계성을 보인다. 주요 기여는 연산자 설정에서 이러한 일반화된 하드리 공간에 대한 종합적인 실변수 이론을 수립한 데 있다.

ABSTRACT

Let $\mathcal{X}$ be a metric space with doubling measure and $L$ a nonnegative self-adjoint operator in $L^2(\mathcal{X})$ satisfying the Davies-Gaffney estimates. Let $φ:\,\mathcal{X} imes[0,\infty) o[0,\infty)$ be a function such that $φ(x,\cdot)$ is an Orlicz function, $φ(\cdot,t)\in A_{\infty}(\mathcal{X})$ (the class of Muckenhoupt weights) and its uniformly critical lower type index $i(φ)\in(0,1]$. In this paper, the authors introduce a Musielak-Orlicz Hardy space $H_{φ,\,L}(\mathcal{X})$ by the Lusin area function associated with the heat semigroup generated by $L$, and a Musielak-Orlicz $\mathop\mathrm{BMO}$-type space $\mathop\mathrm{BMO}_{φ,\,L}(\mathcal{X})$ which is further proved to be the dual space of $H_{φ,\,L}(\mathcal{X})$; as a corollary, the authors obtain the $φ$-Carleson measure characterization of $\mathop\mathrm{BMO}_{φ,\,L}(\mathcal{X})$. Characterizations of $H_{φ,\,L}(\mathcal{X})$, including the atom, the molecule and the Lusin area function associated with the Poisson semigroup of $L$, are presented. Using the atomic characterization, the authors characterize $H_{φ,\,L}(\mathcal{X})$ in terms of $g^\ast_{λ,\,L}$. As further applications, the authors obtain several equivalent characterizations of the Musielak-Orlicz Hardy space $H_{φ,\,L}(\mathbb{R}^n)$ associated with the Schrödinger operator $L=-Δ+V$, where $0\le V\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ is a nonnegative potential, in terms of the Lusin-area function, the non-tangential maximal function, the radial maximal function, the atom and the molecule.

연구 동기 및 목표

• 두 배 측도를 가진 메트릭 측도 공간에서 비음수 자기수반 연산자 $L$에 관련된 Musielak-Orlicz-Hardy 공간 $H_{\phi,L}(X)$ 에 대한 실변수 이론을 개발한다.
• 열과 포아송 반군의 연관된 Lusin 영역 함수를 통해 $H_{\phi,L}(X)$ 를 원자, 분자 및 Lusin 영역 함수를 통해 특성화한다.
• Musielak-Orlicz BMO 유형 공간 $\mathrm{BMO}_{\phi,L}(X)$ 가 $H_{\phi,L}(X)$ 의 쌍대 공간임을 증명하고, 이를 통해 $\phi$-Carleson 측도 특성화를 유도한다.
• 원자 분해를 이용하여 $L$ 에 대한 H"ormander 유형 스펙트럴 승수 정리가 $H_{\phi,L}(X)$ 에서 성립하도록 한다.
• 이 이론을 $\mathbb{R}^n$ 상의 슈뢰딩거 연산자 $L = -\Delta + V$ ($V \geq 0$ 국소 적분 가능) 에 적용하고, $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 에서의 Riesz 변환 $\nabla L^{-1/2}$ 의 유계성을 증명한다.

제안 방법

• 성장 함수 $\phi: X \times [0,\infty) \to [0,\infty)$ 가 균일한 $A_\infty$ 조건과 역 허들러 조건을 만족함을 전제로, 열 반군 $e^{-tL}$ 과 연관된 Lusin 영역 함수를 통해 $H_{\phi,L}(X)$ 를 정의한다.
• Musielak-Orlicz BMO 유형 공간 $\mathrm{BMO}_{\phi,L}(X)$ 를 도입하고, 원자 분해와 쌍대성 기법을 통해 $H_{\phi,L}(X)$ 의 쌍대 공간임을 증명한다.
• 연산자 $L$ 에 적합한 $(\phi,M,0)$-원자와 $(\phi,M,\epsilon)$-분자를 구성하여 $H_{\phi,L}(X)$ 의 원자 및 분자 특성화를 수립한다.
• 원자 분해를 이용하여 $H_{\phi,L}(X)$ 를 Littlewood-Paley $g^*_{\lambda}$-함수 $g^*_{\lambda,L}$ 를 통해 특성화하고, H"ormander 유형 스펙트럴 승수 정리를 유도한다.
• $\mathbb{R}^n$ 상의 슈뢰딩거 연산자에 이 이론을 적용하여, $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 에 대한 다양한 특성화(비접선 최대함수, 축 방향 최대함수, 원자, 분자) 간의 동치성을 증명한다.
• 성장 함수의 균일한 임계 하한 유형 지수 $i(\phi) \in (0,1]$ 이면 Riesz 변환 $\nabla L^{-1/2}$ 이 $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 에서 $L_\phi(\mathbb{R}^n)$ 로의 유계성을 보이며, $i(\phi) \in (\frac{n}{n+1},1]$ 이면 $H_\phi(\mathbb{R}^n)$ 로의 유계성도 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음수 자기수반 연산자 $L$ 에 대해 두 배 측도를 가진 메트릭 측도 공간에서 Musielak-Orlicz-Hardy 공간 $H_{\phi,L}(X)$ 는 어떻게 정의되고 특성화될 수 있는가?
• RQ2 $H_{\phi,L}(X)$ 의 쌍대 공간은 무엇이며, $\phi$-Carleson 측도를 통해 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ3 Riesz 변환 $\nabla L^{-1/2}$ 이 $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 에서 $L_\phi(\mathbb{R}^n)$ 과 $H_\phi(\mathbb{R}^n)$ 로 유계성이 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 Littlewood-Paley $g^*_{\lambda}$-함수와 스펙트럴 승수는 $H_{\phi,L}(X)$ 에서 어떻게 유계가 되며, 이를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 성장 함수 $\phi$ 에 대해 슈뢰딩거 연산자 $L = -\Delta + V$ ($V \geq 0$ 국소 적분 가능) 에 대해 $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 의 등가 특성화는 무엇인가?

주요 결과

• Musielak-Orlicz BMO 유형 공간 $\mathrm{BMO}_{\phi,L}(X)$ 가 $H_{\phi,L}(X)$ 의 쌍대 공간임이 증명되었으며, 이 쌍대성에서 $\phi$-Carleson 측도 특성화가 도출된다.
• $\phi$ 와 $L$ 에 대한 주어진 조건 하에서, $H_{\phi,L}(X)$ 는 원자, 분자 및 $L$ 의 포아송 반군과 연관된 Lusin 영역 함수를 통해 등가 특성화를 가진다.
• Littlewood-Paley $g^*_{\lambda}$-함수 $g^*_{\lambda,L}$ 는 $H_{\phi,L}(X)$ 에서 유계이며, $L$ 에 대한 H"ormander 유형 스펙트럴 승수 정리가 이 공간에서 성립한다.
• $\mathbb{R}^n$ 상의 슈뢰딩거 연산자 $L = -\Delta + V$ ($V \geq 0$ 국소 적분 가능) 에 대해 $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 은 비접선 최대함수, 축 방향 최대함수, 원자, 분자를 통해 등가 특성화를 가진다.
• 균일한 임계 하한 유형 지수 $i(\phi) \in (0,1]$ 이면 Riesz 변환 $\nabla L^{-1/2}$ 이 $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 에서 $L_\phi(\mathbb{R}^n)$ 로 유계이며, $i(\phi) \in \left(\frac{n}{n+1},1\right]$ 이면 $H_\phi(\mathbb{R}^n)$ 로의 유계성도 성립한다.
• $(\phi,M,0)$-원자 $\alpha$ 에 대해 $\nabla L^{-1/2}\alpha$ 의 원자 분해가 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 에서 수렴하고, 균일한 $\phi$-노름 유계성을 만족함을 보여, $\nabla L^{-1/2}$ 이 $H_{\phi,L}(\mathbb{R}^n)$ 에서의 유계성을 유도한다.