[논문 리뷰] Mustafin varieties, moduli spaces and tropical geometry

Marvin Anas Hahn, Binglin Li|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유리 함수와 토폴로지 기하학을 사용하여 Mustafin 다양체에 대한 새로운 조합론적 프레임워크를 제안하며, 특별 섹션의 기약 성분을 완전히 분류할 수 있게 한다. 다중 시야 다양체가 Mustafin 특별 섹션의 성분으로 나타남을 입증하고, 단순 점을 통해 연결 그라스만이안과 연관시키며, r=1인 경우 표준 국소 모델이 Mustafin 다양체에 의해 실현됨을 보인다.

ABSTRACT

Mustafin varieties are flat degenerations of projective spaces, induced by a choice of an $n-$tuple of lattices in a vector space over a non-archimedean field. They were introduced by Mustafin in the 70s in order to generalise Mumford's groundbreaking work on the unformisation of curves to higher dimension. These varieties have a rich combinatorial structure as can be seen in pioneering work of Cartwright, Häbich, Sturmfels and Werner. In this paper, we introduce a new approach to Mustafin varieties in terms of images of rational maps, which were studied by Li. Applying tropical intersection theory and tropical convex hull computations, we use this method to give a new combinatorial description of the irreducible components of the special fibers of Mustafin varieties. This enables connections to various topics. In particular, we see that any multiview variety appears as an irreducible component of the special fiber of some Mustafin variety. Furthermore, we use an interpretation of Mustafin varieties as a moduli functor introduced by Faltings to relate them to certain moduli functors, called linked Grassmannians. These objects are featured in limit linear series theory. The focal point of study regarding linked Grassmannians are so-called extit{simple points}. As a direct consequence of the new combinatorial description of Mustafin varieties, we prove that the simple points of linked Grassmannians are dense in every fiber. Finally, we use the connection to linked Grassmannians, to relate the special fibers of Mustafin varieties to certain local models of unitary Shimura varieties.

연구 동기 및 목표

• 토털로지 기하학을 사용하여 Mustafin 다양체의 특별 섹션의 기약 성분에 대한 새로운 조합론적 기술을 제공한다.
• 다중 시야 다양체가 특별 섹션의 기약 성분으로 나타남을 보여, Mustafin 다양체와 다중 시야 기하학 사이의 연결 고리를 확립한다.
• 특히 단순 점에 중점을 두어, 모듈라이 해석을 통해 Mustafin 다양체와 연결 그라스만이안을 연결한다.
• Mustafin 다양체가 유니타리 시무라 다양체의 국소 모델과 어떻게 관련되어 있는지 밝히며, r=1인 경우 표준 국소 모델이 Mustafin 다양체와 일치함을 증명한다.
• 새로운 조합론적 프레임워크를 통해 연결 그라스만이안의 단순 점들이 모든 섹션에서 조밀함을 증명한다.

제안 방법

• 이산 평가환수 위에서 프로젝티브 공간에서 프로젝티브 공간의 곱으로 가는 유리 함수의 영상을 사용하여 Mustafin 다양체를 구성한다.
• 특별 섹션의 구조를 분석하기 위해 토폴로지 교차 이론과 토폴로지 볼록체 계산을 적용한다.
• 특별 섹션을 잔여체 위의 프로젝티브 공간의 곱으로 가는 유리 함수의 영상의 폐쇄로 모델링한다.
• 브루아-티트 빌딩 내의 격자류의 토폴로지 볼록체를 통해 기약 성분을 특성화한다.
• 연결 그라스만이안의 단순 점과 $\mathbb{P}_{k}^{d-1}$에서 프로젝티브 공간의 곱으로 가는 유리 함수의 영상 사이의 대응관계를 수립한다.
• 격자 구성 $\Gamma$를 통해 표준 국소 모델 $M^{\text{loc}}$가 유니타리 시무라 다양체에 대해 r=1일 때 Mustafin 다양체와 동형임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Mustafin 다양체의 특별 섹션의 기약 성분은 어떻게 조합론적으로 분류될 수 있는가?
• RQ2 컴퓨터 시각에서의 다중 시야 다양체는 Mustafin 특별 섹션의 성분으로 어떻게 나타나는가?
• RQ3 Mustafin 다양체와 연결 그라스만이안 사이의 정확한 관계는 무엇인가, 특히 단순 점을 중심으로 하여?
• RQ4 Mustafin 다양체는 유니타리 시무라 다양체의 국소 모델과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 연결 그라스만이안의 단순 점들의 집합은 모든 섹션에서 조밀한가?

주요 결과

• Mustafin 다양체의 특별 섹션은 잔여체 위의 프로젝티브 공간의 곱으로 가는 $\mathbb{P}_{k}^{d-1}$에서의 유리 함수의 영상의 폐쇄이다.
• AST13에서 정의한 다중 시야 다양체는 어떤 Mustafin 다양체의 특별 섹션의 기약 성분으로 항상 나타난다.
• 연결 그라스만이안의 단순 점들의 집합은, 그 폐쇄가 특별 섹션을 형성하는 유리 함수의 영상으로서 실현됨에 따라 모든 섹션에서 조밀하다.
• 유니타리 시무라 다양체에 대해 r=1인 표준 국소 모델 $M^{\text{loc}}$는 특정 구성 $\Gamma = \{L_0, \dots, L_{d-1}\}$으로부터 구성된 Mustafin 다양체와 동형이다.
• Mustafin 다양체 $\mathcal{M}(\Gamma)$의 특별 섹션은 연결 그라스만이안 $\mathrm{LG}(1,\Gamma)$의 단순 점들의 집합의 폐쇄와 같다. 즉, $\overline{\mathrm{Simp}(\Gamma)} = \mathcal{M}(\Gamma)_k$이다.
• 이 구성은 r=1인 국소 모델 $M^{\text{loc}}$의 축약성과 평탄성에 대한 새로운 증명을 제공한다.