[논문 리뷰] Mutual k-Visibility in Graphs

Tonny K B, M. Shikhi|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 16.

Computational Geometry and Mesh Generation인용 수 0

한 줄 요약

우리는 고전적 상호 가시성의 허용오차 기반 일반화로서 상호 k-가시성(mutual k-visibility)을 도입하고, 상호 k-가시성 수 μk(G)을 정의하며, 기본 성질과 경계를 도출하고, 여러 그래프 클래스들을 연구하고, 상호 k-가시성을 테스트하는 다항식 시간 알고리즘 MkV를 제공하며, k-허용 집합과 상호 k-가시성 피복을 갖는 블록 그래프에까지 이 이론을 확장한다.

ABSTRACT

Mutual visibility in graphs requires pairs of vertices to be connected by shortest paths that avoid all other vertices of a prescribed set, a condition that is often overly restrictive. In this paper, we introduce a new variant, called mutual $k$-visibility, which permits at most $k$ internal vertices of the set to lie on a shortest path. This parameterized approach naturally generalizes classical mutual visibility and provides a graded notion of obstruction tolerance. We define the mutual $k$-visibility number $μ_k(G)$ of a graph $G$ and establish its basic properties, including monotonicity and stabilization for sufficiently large values of $k$. Some bounds on $μ_k(G)$ are obtained in terms of diameter, maximum degree, and girth. We further analyze $(X,k)$-visibility in convex graphs and determine exact values of $μ_k(G)$ for some fundamental graph classes. In addition, for block graphs, we introduce the notion of $k$-admissible sets in the associated block--cutpoint tree and show how these sets characterize mutual $k$-visibility in the original graph. Moreover, we present a polynomial-time algorithm, MkV, that decides whether a given subset $S \subseteq V(G)$ forms a mutual $k$-visibility set in $G$. The algorithm has time complexity $O\bigl(|S|(|V(G)|+|E(G)|)+|S|^2\bigr)$. In addition, we introduce strengthened variants-total, outer, and dual mutual $k$-visibility. We also define the mutual $k$-visibility covering number $τ_k(G)$, the minimum number of mutual $k$-visible sets required to partition $V(G)$, thereby extending the theory from extremal subsets to structural decompositions.

연구 동기 및 목표

• 그래프에서 허용 오차 기반 일반화를 도입하여 shortest paths에서 최대 k 개의 차단된 내부 정점을 허용하도록 동기를 부여한다.
• 상호 k-가시성 수 μk(G)를 정의하고 큰 k에 대해 단조성 및 안정화를 입증한다.
• 직경, 최대 차수, 그리고 최소 사이클 길이를 이용한 μk(G)에 대한 경계를 도출하고 특정 그래프 클래스를 분석한다.
• 블록-그래프에서 block–cutpoint 트리를 통해 상호 k-가시성을 특성화하고 k-허용 집합을 도입한다.
• 주어진 부분집합이 상호 k-가시성 집합인지 판단하는 다항 시간 알고리즘 MkV를 제시한다.

제안 방법

• (X,k)-가시성 및 상호 k-가시성 집합을 정의한다.
• μk(G)가 k에 대해 비감소하며 n, diam(G), 그리고 g(최소 사이클 길이) 등을 통해 상한이 있음을 보인다.
• block–cutpoint 트리를 이용하여 블록-그래프를 구성하고 μk(G)를 특징짓기 위해 k-허용 집합을 도입한다.
• 집합 S에 대해 상호 k-가시성을 테스트하는 O(|S|(|V|+|E|)+|S|^2) 시간 복잡도의 다항 시간 알고리즘 MkV를 제시한다.
• 블록 그래프에 대해 μk(G) = max{|XZ|: Z가 block–cutpoint 트리의 k-허용인 경우}를 증명한다.
• 전체, 외부, 이중 상호 k-가시성 개념을 포함하도록 이론을 확장하고 상호 k-가시성 커버링 수 τk(G)를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 그래프에서 Relaxed k-obstruction 상호 가시성의 최대 크기는 얼마인가?
• RQ2 μk(G)가 직경, 최대 차수, girth와 같은 표준 그래프 매개변수와 어떤 관계를 가지는가?
• RQ3 주어진 부분집합 S에 대해 상호 k-가시성을 효율적으로 테스트할 수 있는가? 가능하다면 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 block-그래프를 block–cutpoint 트리를 통해 μk(G) 및 관련 매개변수를 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ5 상호 k-가시성의 강화된 변형은 그래프 분해를 커버링을 통해 어떻게 영향을 주는가?

주요 결과

• μk(G)는 k에 대해 비감소하며 k ≥ diam(G) − 1일 때 |V(G)|에 도달한다.
• μk(G)는 n, 직경 d, 그리고 girth g를 포함하는 표현들로 상한이 있으며, 예를 들어 n−d+k+1 및 n−g+2k+3 이다.
• 일반 클래스에 대해 μk(G) 값이 정확히 결정된다: μk(Pn) = min{n, k+2}, μk(Cn) = min{n, 2k+3}, μk(Km,n) = m+n (k ≥ 1).
• 블록 그래프는 block–cutpoint 트리의 k-허용집합을 통해 μk(G)를 완전히 특성화할 수 있으며, μk(G) = max{|XZ|: Z가 k-허용인 경우}를 얻는다.
• 다항 시간 알고리즘 MkV는 주어진 집합 S가 상호 k-가시성 집합인지 판단하며 실행 시간은 O(|S|(|V|+|E|)+|S|^2)이다.
• 본 논문은 전체, 외부, 이중 상호 k-가시성이라는 강화된 변형들을 도입하고 상호 k-가시성 커버링 수 τk(G)를 정의한다.