[논문 리뷰] Mutually unbiased measurements with arbitrary purity

Mahdi Salehi, Seyed Javad Akhtarshenas외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 18.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 29인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 d차원 양자 시스템에서 임의의 순수도를 가진 상호 비편향 측정(MUMs)의 새로운 클래스를 소개하며, 랭크-일치 프로젝터에 국한되지 않는 상호 비편향 기저(MUBs)를 일반화한다. 추적형 헤르미트 연산자와 조절 가능한 매개변수를 사용하여 MUMs를 구성함으로써, 양자 얽힘을 탐지하기 위해 두 개의 MUM만으로도 충분함을 보이며, 보완 측정의 음의 기대값은 양자 얽힘 단위함수에 비례한다.

ABSTRACT

Mutually unbiased measurements are a generalization of mutually unbiased bases in which the measurement operators need not to be rank one projectors. In a $d$-dimension space, the purity of measurement elements ranges from $1/d$ for the measurement operators corresponding to maximally mixed states to $1$ for the rank one projectors. In this contribution, we provide a class of MUM that encompasses the full range of purity. Similar to the MUB in which the operators corresponding to different outcomes of the same measurement commute mutually, our class of MUM possesses this sense of compatibility within each measurement. This makes the provided class more similar to the MUB, so that the main difference between them and MUB is due to the purity of the measurement operators. The spectra of these MUMs provides a way to construct a class of $d$-dimensional orthogonal matrices which leave the vector of equal components invariant. Based on this property, and by using the MUM-based entanglement witnesses, we investigate the role of purity to detect entanglement of bipartite states.

연구 동기 및 목표

• 상호 비편향 기저(MUBs)를 랭크-일치 프로젝터에 제한되지 않는 임의의 순수도를 가진 측정으로 일반화하기.
• 순수도가 1/d(최대 혼합 상태)에서 1(프로젝터)까지 전체 범위를 커버하는 상호 비편향 측정(MUMs)의 클래스를 구성하기.
• 이러한 MUMs의 스펙트럼과 균일한 벡터를 보존하는 직교 행렬 간의 연결 고리를 설정하기.
• MUM 기반 얽힘 증거를 적용하여 이중 양자 상태에서 얽힘 탐지를 위해 필요한 최소 측정 수를 규명하기.
• 일반적인 이중 양자 순수 상태에서 두 개의 MUM으로도 얽힘 탐지가 가능하며, 음의 평균 값이 얽힘 단위함수와 연결됨을 보여주기.

제안 방법

• P^{(b)}_n = \frac{1}{d}\mathbb{1} + t F^{(b)}_n 형태로 MUMs를 구성하며, 여기서 F^{(b)}_n은 추적형 헤르미트 연산자이고 t는 순수도를 조절하는 매개변수이다.
• F^{(b)}_n의 극한 고유값에서 유도된 범위에 따라 t의 제약 조건을 통해 P^{(b)}_n의 양수성을 확보하며, 순수도 매개변수로 \kappa = \text{Tr}[P^{(b)}_n]^2 를 사용한다.
• 추적 조건 \text{Tr}[P^{(b)}_n P^{(b')}_{n'}] = \frac{1}{d} + \delta_{b,b'}\left(\delta_{n,n'} - \frac{1}{d}\right)\frac{\kappa - \frac{1}{d}}{\frac{1}{d} - 1} 을 통해 상호 비편향 조건을 유도한다.
• MUMs의 스펙트럼 성질을 활용하여 균일한 벡터를 보존하는 직교 행렬을 구성하며, 이는 조합 설계와 연결된다.
• 이중 상태에 대한 MUM 기반 얽힘 증거를 적용하여, 첫 번째 MUM은 모든 순수 상태에서 기대값이 0이 되고, 보완 MUM은 얽힌 상태에서 음의 기대값을 갖는다는 것을 보여준다.
• 이 음의 기대값의 크기는 얽힘 단위함수에 비례하며, 이는 그 값이 탐지 가능한 얽힘 증거임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상호 비편향 측정(MUMs)은 MUBs의 랭크-일치 프로젝터를 초월하여 임의의 순수도로 구성될 수 있는가?
• RQ2 이중 양자 상태에서 얽힘 탐지를 위해 필요한 MUM의 최소 수는 얼마인가?
• RQ3 보완 MUM의 기대값은 순수 이중 양자 상태에서 얽힘 측정과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 MUMs의 스펙트럼 구조를 활용하여 균일한 벡터를 보존하는 직교 행렬을 생성할 수 있는가?
• RQ5 얽힌 상태에서 두 번째 MUM의 음의 평균 값은 알려진 얽힘 단위함수에 비례하는가?

주요 결과

• 저자들은 순수도 \kappa \in [1/d, 1]인 MUMs의 클래스를 구성하여, MUBs를 임의의 랭크 측정으로 일반화한다.
• 모든 d차원 시스템에서 제안된 MUMs는 추적형 연산자의 매개변수화된 가족을 통해 상호 비편향 조건을 만족한다.
• 일반적인 이중 양자 순수 상태에서 얽힘 탐지를 위해 두 개의 MUM만으로도 충분하다: 첫 번째 MUM은 모든 순수 상태에서 기대값이 0이며, 두 번째 MUM은 얽힌 상태에서 음의 기대값을 갖는다.
• 두 번째 MUM의 음의 기대값은 얽힘 단위함수에 비례하며, 이는 그 값이 탐지 가능한 얽힘 증거임을 확인한다.
• MUMs의 스펙트럼은 균일한 성분을 갖는 벡터를 보존하는 직교 행렬을 생성하며, 이는 대칭 설계와 연결된다.
• 이 구조는 전순위 상태(예: 등방성 상태)에서는 MUM의 완전한 집합이 필요한 반면, 저랭크 혼합 상태에서는 더 적은 수의 측정으로도 충분함을 보여준다.