[논문 리뷰] mVEM: A MATLAB Software Package for the Virtual Element Methods

Yue Yu|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 04.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 2차원 및 3차원의 다각형 및 다면체 메시에 대해 가상 요소 방법(VEMs)을 구현하는 무료이고 오픈소스의 MATLAB 소프트웨어 패키지인 mVEM을 제시한다. 이 소프트웨어는 타원형 문제—다르게는 Darcy 방정식과 푸아송 방정식—을 혼합형 및 적합한 VEM 형식으로 해결하기 위한 효율적이고 투명하며 재사용 가능한 코드를 제공하며, 삼각형 메시, 구조적 사각형/다면체 메시, 중심이 있는 베이저 테일레잇션(CVT) 메시를 포함한 다양한 메시 유형에서 최적 수렴 속도를 입증하였다.

ABSTRACT

This paper summarizes the development of mVEM, a MATLAB software package containing efficient and easy-following codes for various virtual element methods (VEMs) published in the literature. We explain in detail the numerical implementation of the mixed VEMs for the Darcy problem and the three-dimensional linear VEMs for the Poisson equation. For other model problems, we present the construction of the discrete methods and only provide the implementation of the elliptic projection matrices. Some mesh related functions are also given in the package, including the mesh generation and refinement in two or three dimensions. mVEM is free and open source software.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 기하학과 일반적인 다각형/다면체 메시에 적용 가능한 종합적이고 재사용 가능하며 쉽게 따라할 수 있는 MATLAB 소프트웨어 패키지 개발을 목적으로 한다.
• 이전에 이용 가능하지 않았던 3차원에서 Darcy 문제에 대한 혼합 VEM 및 푸오송 방정식에 대한 선형 VEM의 상세한 수치적 구현을 제공하는 것.
• 2차원 및 3차원에서 메시 생성 및 정밀화를 지원하며, 데라운이 삼각형에서의 이중 메시 구축 및 CVT와 같은 특수한 메시 유형을 포함한다.
• 반응-확산, 선형 탄성, 강판 굽힘, 스토크스 유동, 변분 부등식 등 다양한 PDE에 대한 다양한 VEM 형식의 구현을 가능하게 하는 것.
• 시간에 따라 변화하는 문제, 적응형 방법, 비선형 기계학, Cahn-Hilliard 및 나비에-스토크스 시스템과 같은 다물리 문제에 대한 향후 확장의 기반을 제공하는 것.

제안 방법

• 패키지는 적분 by parts에 기반한 변분 형식을 사용하여 가상 요소 방법을 구현하며, 약한 형식은 계산 가능한 투영을 사용해 요소별로 조립된다.
• 각 요소에 대해, 비다항식 항을 다루기 위해 $L^2$ 투영과 타원형 투영을 사용한 국소 강성 행렬을 계산한다. 이때 형상 함수의 명시적 지식이 필요로 하지 않는다.
• 소프트웨어는 정점 목록, 요소 연결성, 딜레아르 및 뉴먼 조건을 위한 경계 마커를 포함한 다각형 및 다면체 메시를 표현하기 위한 데이터 구조를 사용한다.
• 메시 생성은 수정된 PolyMesher 알고리즘과 데라운이 기반의 이중 메시화를 통해 지원되며, 구조적 메시 및 중심이 있는 베이저 테일레잇션(CVT) 메시를 생성할 수 있다.
• 명확성과 확장성 향상을 위해 특히 3차원 문제에 적합한 요소별 루프를 사용하지만, 성능 향상을 위해 벡터화를 제안한다.
• 소프트웨어는 $H^1$ 및 $L^2$ 노름에서 오차 계산, 수렴 속도 분석, 해 및 메시의 시각화를 위한 기능을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 다각형 및 다면체 메시에서 2차원 및 3차원 문제에 대해 투명하고 재사용 가능한 MATLAB 기반의 가상 요소 방법 구현을 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ2 비정규 다면체 메시에서 3차원에서 푸오송 방정식에 대한 선형 VEM의 최적 수렴 행동은 어떠한가?
• RQ3 메시가 삼각형으로 구성되어 있을 때, VEM 구현의 성능이 고전적인 유한요소 방법과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ4 최소한의 코드 복잡도로 VEM 형식을 혼합형식(예: Darcy 문제) 및 고차원 문제로 확장할 수 있는가?
• RQ5 VEM 구현의 계산적 병목 현상은 무엇이며, 코드 설계 및 잠재적 벡터화를 통해 어떻게 완화할 수 있는가?

주요 결과

• mVEM 패키지는 일반적인 다면체 메시에서 Darcy 문제에 대한 혼합 VEM과 3차원 푸오송 방정식에 대한 선형 VEM을 성공적으로 구현하였으며, 명확하고 문서화된 코드를 제공한다.
• 사다리형, 구조적 사각형, CVT 메시에서 푸오송 문제에 대해 $L^2$ 노름에서 2차 수렴 속도와 $H^1$ 노름에서 1차 수렴 속도를 달성하였다.
• 粗모델에서 $L^2$ 오차 수렴 속도는 최적 수렴보다 열등하며(2에 가까워지지 않음), 이는 기존의 선형 유한요소 방법에서도 관찰된 알려진 문제이지만, 더 미세한 메시에서 최적 수렴 속도가 회복된다.
• 삼각형 메시에서 선형 VEM은 표준 선형 유한요소 방법으로 축소되며, 이는 형식의 일致성을 확인한다.
• 현재 구현은 명확성을 위해 요소별 루프를 사용하지만, 대규모 3차원 문제에서 성능 향상을 위해 벡터화를 통해 향상시킬 수 있다.
• 패키지는 확장 가능하며, 향후 시간에 따라 변화하는 문제, 적응형 VEM, 비선형 고체역학 응용 분야의 개발 기반을 제공한다.