[논문 리뷰] n-ary associative algebras, cohomology, free algebras and coalgebras

Nicolas Goze, Elisabeth Remm|ArXiv.org|2008. 03. 04.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 6인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 체 위에서 $n$-항 부분적으로 결합법칙을 만족하는 대수에 대한 Hochschild 코homology에 대해 두 가지 새로운 접근법—코체인 공간 축소와 그레디에이션 구조—을 제안한다. 자유 $n$-항 대수의 기저를 계산하고, 코알gebra 이론을 $n$-항 설정으로 확장하여, $n$ 이chs일 때 이전의 코homology 정의에서 발생하는 모순을 해결한다.

ABSTRACT

When $n$ is odd, a cohomology of type Hochschild for $n$-ary partially associative algebras has been defined in Gnedbaye's thesis. Unfortunately, the cohomology definition is not valid when $n$ is even. This fact is found again in the computations of the $n$-ary partially associative free algebra. In this work, we define in a first time two approachs of an Hochschild cohomology for $n$-ary partially associative algebras. First by reducing the space of cochains, secondly by using a graded version. Next we compute the free $n$-ary algebra, giving a basis of this algebra. At last we extend the notion of coalgebras to $n$-ary algebras.

연구 동기 및 목표

• 특성 0인 체 위에서 $n$ 이 짝수일 때 기존의 Hochschild 코homology 정의에 존재하는 모순을 해결하기 위해.
• 코체인 공간 축소와 그레디에이션 구조라는 두 가지 별개의 접근법을 사용하여 $n$-항 대수에 대한 일관된 코homology 프레임워크를 정의하기 위해.
• 자유 $n$-항 대수의 기저를 계산하여 향후 대수적 구성의 구조적 기반을 마련하기 위해.
• $n$-항 대수로의 코알gebra 개념을 확장하여, 전통적인 결합법칙 대수 이론에서의 대칭성 일반화하기 위해.
• 특히 홀수와 짝수 $n$에 따른 행동 차이를 드러내기 위해 Gerstenhaber 곱과 전-리 항등식을 통해 $n$-항 대수의 대수적 구조를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 코체인 공간의 제약과 Gerstenhaber 곱의 그레디에이션 형태를 사용하여 두 가지 코homology 접근법을 정의하기 위해.
• 조건 $\mu \bullet_{n,n} \mu = 0$ 을 통해 $\bullet_{n,n}$ 곱을 사용하여 $n$-항 대수를 정의하고, 이는 결합법칙 대수를 일반화한다.
• 전-리 항등식을 적용하여 $ (\varphi \bullet \mu) \bullet \mu $ 의 행동을 분석하고, 특성 0과 부호 상쇄로 인해 $n$ 이 짝수일 경우 이 값이 0이 됨을 보여주기 위해.
• 홀수 $n$ 에 대해 $ (\varphi \bullet \mu) \bullet \mu = 2\varphi \circ \theta_k(\mu) $ 라는 항등식을 유도하며, 여기서 $ \theta_k(\mu) $ 는 $\mu$ 와 항등사상의 텐서곱 조합의 합이다.
• 벡터 공간 $V$ 에서의 $n$-항 곱 $\mu$ 를 반복 적용하여 텐서곱의 조합으로서 기저를 식별함으로써 자유 $n$-항 대수를 구성하기 위해.
• $n$-항 코알gebra는 일반화된 코결합법칙 조건을 만족하는 코승법 $\Delta$ 를 정의함으로써 정의되며, 기존의 코결합법칙 코알gebra 개념을 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 0인 체 위에서 $n$ 이 짝수일 때 이전 정의가 실패하는 상황에서, $n$-항 부분적 결합법칙 대수에 대해 일관된 Hochschild 코homology 이론을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 특성 0에서의 전-리 항등식을 고려할 때, $n$ 이 홀수일 때와 짝수일 때 $n$-항 대수의 코homological 행동에 어떤 구조적 차이가 발생하는가?
• RQ3 벡터 공간 $V$ 에서 $n$-항 곱 $\mu$ 를 통해 생성된 자유 $n$-항 대수의 명시적 기저는 무엇인가?
• RQ4 기존의 결합법칙 대수 이론에서의 대칭성 개념을 $n$-항 결합법칙 대수로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ5 $\mu \bullet_{n,n} \mu = 0$ 이라는 항등식이 $n$-항 리 대수와 교환법칙을 만족하는 $n$-항 대수의 구성에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 특성 0인 체 위에서 $n$ 이 짝수일 경우, 부호 상쇄와 특성 0의 조건으로 인해 모든 $\varphi \in C^k(V)$ 에 대해 항등식 $ (\varphi \bullet \mu) \bullet \mu = 0 $ 이 성립한다.
• 홀수 $n$ 에 대해 항등식 $ (\varphi \bullet \mu) \bullet \mu = 2\varphi \circ \theta_k(\mu) $ 가 성립하며, 여기서 $ \theta_k(\mu) $ 는 $\mu$ 와 항등사상의 텐서곱 조합의 합이다.
• 벡터 공간 $V$ 위에서의 자유 $n$-항 대수에는 $\mu$ 를 텐서곱의 조합에 반복 적용함으로써 구성된 기저가 존재하며, 잘 정의된 조합론적 구조를 가진다.
• 코체인 공간 축소와 그레디에이션 구조를 통한 코homology 정의는 $n$ 이 짝수일 때 Gnedbaye의 원래 코homology 정의에서 발생하는 모순을 성공적으로 해결한다.
• $n$-항 코알gebra의 개념은 $\mu$ 와 $\Delta$ 를 포함하는 일반화된 코결합법칙 조건을 만족하는 코승법 $\Delta$ 를 정의함으로써 확장된다.
• 예시로는 4단계의 노름이 0인 리 대수로부터 유도된 $3$-항 교환법칙 대수와 순서 3의 Roby 대수들이 있으며, 이들은 모두 $\mu \bullet_{3,3} \mu = 0$ 을 만족한다.