[논문 리뷰] N-Laplacian equations in $\mathbb{R}^{N}$ with subcritical and critical growth without the Ambrosetti-Rabinowitz condition

Nhuyen Lam, Guozhen Lu|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 25.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^N$의 유계 도메인에서 임계 및 초임계 지수 성장이 있는 N-라플라스 방정식에 대해 비자명한 비음수 해의 존재성을 확립한다. 아크로세티-라비노비츠 조건을 요구하지 않는다. 저자들은 셰라미 유형의 산맥 정리와 모저-트루딩어 부등식을 활용하여 더 약한 성장 가정 하에 컴actness와 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

Let $Ω$ be a bounded domain in $\mathbb{R}^N$. In this paper, we consider the following nonlinear elliptic equation of $N$-Laplacian type: $-Δ_{N}u=f(x,u)$ where $u\in W_{0}^{1,2}\{0}$ when $f$ is of subcritical or critical exponential growth. This nonlinearity is motivated by the Moser-Trudinger inequality. In fact, we will prove the existence of a nontrivial nonnegative solution to the above equation without the Ambrosetti-Rabinowitz $(AR)$ condition. Earlier works in the literature on the existence of nontrivial solutions to $N-$Laplacian in $\mathbb{R}^{N}$ when the nonlinear term $f$ has the exponential growth only deal with the case when $f$ satisfies the $(AR)$ condition. Our approach is based on a suitable version of the Mountain Pass Theorem introduced by G. Cerami \cite{Ce1, Ce2}. This approach can also be used to yield an existence result for the $p$-Laplacian equation ($1

연구 동기 및 목표

• 유계 도메인 $ℝ^N$ 내에서 임계 및 초임계 지수 성장이 있는 N-라플라스 방정식에 대해 비자명한 비음수 해의 존재성을 확립한다.
• 이러한 방정식에 대해 변분 방법에서 일반적으로 가정되는 제약 조건인 아크로세티-라비노비츠 조건을 제거한다.
• 비선형성이 지수적으로 증가하지만 AR 조건을 만족하지 않는 경우에도 변분 방법을 확장한다.
• 하나의 프레임워크를 제공하여 $p$-라플라스 방정식의 초임계 다항 성장과 $N$-라플라스 방정식의 지수 성장에 모두 적용 가능하게 한다.
• 셰라미 조건이 임계 지수 성장 설정에서 팔라이스-스마일드 컴팩트니스의 부족을 극복하는 데 충분한지 증명한다.

제안 방법

• 셰라미의 산맥 정리의 변형을 적용하여 팔라이스-스마일드 수열이 아닌 셰라미 수열을 다룰 수 있도록 한다.
• 에너지 함수에서 지수 성장 항을 제어하기 위해 모저-트루딩어 부등식을 사용하며, 특히 임계 케이스에서 유용하다.
• 산맥 수준을 위에서 추정하기 위해 $Ω$ 내부의 구 안에 지지된 적절한 시험 함수 수열 $M_n$을 구성한다.
• 약수렴과 지수 적분 가능성 추정을 사용하여 반증을 통해 셰라미 수열의 유계성을 증명한다.
• $f$에 대한 조건 $(CG)$를 적용하여 비선형성을 잘라낸 지수 bound로 통제함으로써 적분 가능성 보장을 확보한다.
• 정규화된 수열의 약수렴과 $L^1$ 노름의 강수렴을 활용하여 수열이 무한히 커질 경우 모순을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아크로세티-라비노비츠 조건이 실패할 경우, 임계 지수 성장이 있는 N-라플라스 방정식에 비자명한 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 임계 지수 성장 설정에서 셰라미 조건이 컴팩트니스와 존재성을 확보하는 데 충분한가?
• RQ3 AR 조건 없이도 변분 접근법을 초임계 다항 성장이 있는 $p$-라플라스 문제로 확장할 수 있는가?
• RQ4 비선형성이 지수 성장일 경우 모어-트루딩어 부등식은 에너지 함수를 어떻게 제어하는가?
• RQ5 AR 조건이 성립하지 않는 N-라플라스 문제에서 셰라미 수열의 유계성을 어떻게 확인할 수 있는가?

주요 결과

• 주어진 성장 및 비선형성 조건 하에 에너지 함수 $J(u) = \frac{1}{N}\int_\Omega \|\nabla u\|^N dx - \int_\Omega F(x,u) dx$ 는 $W_0^{1,N}(\Omega)$ 내에서 유계인 셰라미 수열을 가진다.
• 산맥 수준 $C_M$ 은 $C_M < \frac{1}{N}\left(\frac{\alpha_N}{\alpha_0}\right)^{N-1}$ 를 만족하며, 이는 모어-트루딩어 부등식의 날카로운 한계보다 엄밀히 낮다.
• 셰라미 수열은 약한 해 $u$ 로 수렴하며, $F(x,u_n)$ 이 $L^1$ 에서 감쇠함을 이용한 반증을 통해 $u$ 가 비자명함을 증명한다.
• 만약 $u=0$ 이라면 $\|u_n\|^N \to NC_M < \left(\frac{\alpha_N}{\alpha_0}\right)^{N-1}$ 이 되며, 이는 산맥 수준의 하한과 모순된다.
• 이 방법은 초임계 다항 성장이 있는 $p$-라플라스 방정식로도 확장 가능하여 이전 문헌보다 더 약한 성장 가정 하에서도 존재 결과를 도출한다.
• 아크로세티-라비노비츠 조건이 필요 없음에도 불구하고 임계 지수 성장 영역에서 비자명한 해의 존재를 보장하는 데 성공한다.