[논문 리뷰] n-Linear Algebra of type I and its applications

Kandasamy, W. B. Vasantha, Florentín Smarandache|ArXiv.org|2008. 12. 10.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다차원 데이터를 처리하기 위해 설계된, 이차형 대수와 이벡터 공간의 일반화인 유형 I의 n-선형 대수를 소개한다. n-벡터 공간과 n-행렬과 같은 기본 구조를 수립하고, n-마르코프 체인, n-레온티에프 모델, 오차 보정을 위한 n-최적 근사, n-고유값을 활용한 유한요소 분석 등 응용 사례를 제시하며, 퍼지 모델, 예를 들어 퍼지 인지 지도(Fuzzy Cognitive Maps)로의 확장 가능성을 제시한다.

ABSTRACT

With the advent of computers, one needs algebraic structures that can simultaneously work with bulk data. One such algebraic structure, namely, n-linear algebras of type I are introduced in this book and its applications to n-Markov chains and n-Leontief models are given. These structures can be thought of as the generalization of bilinear algebras and bivector spaces. Several interesting n-linear algebra properties are proved. This book has four chapters. The first chapter just introduces n-group which is essential for the definition of n-vector spaces and n-linear algebras of type I. Chapter two gives the notion of n-vector spaces and several related results which are analogues of the classical linear algebra theorems. In case of n-vector spaces, we can define several types of linear transformations. The notion of n-best approximations can be used for error correction in coding theory. The notion of n-eigen values can be used in deterministic modal superposition principle for undamped structures, which can find its applications in finite element analysis of mechanical structures with uncertain parameters. Further, it is suggested that the concept of n-matrices can be used in real world problems which adopts fuzzy models like Fuzzy Cognitive Maps, Fuzzy Relational Equations and Bidirectional Associative Memories. The applications of these algebraic structures are given in the third chapter. The fourth chapter suggests problems to further a reader's understanding of the subject.

연구 동기 및 목표

• 기존 선형 대수를 초월하는 다차원 데이터 구조를 다룰 수 있는 일반화된 대수적 프레임워크를 개발하는 것.
• 벡터 공간, 선형 변환, 고유값 등의 고전적 선형 대수 개념을 n차원에 대응하는 형태로 확장하는 것.
• 다중 데이터 스트림을 동시에 처리할 필요가 있는 계산 모델, 예를 들어 마르코프 체인과 경제 입력-출력 모델에서의 응용을 가능하게 하는 것.
• 특히 무쇠성 구조물의 유한요소 방법에 응용되는 공학 분석에서 n-행렬과 n-고유값의 사용을 탐색하는 것.
• 퍼지 시스템, 특히 퍼지 인지 지도(Fuzzy Cognitive Maps)와 이중성 연관 기억(Bidirectional Associative Memories) 등에 대한 n-선형 대수의 실용적 응용을 제안하는 것.

제안 방법

• n-벡터 공간을 구성하기 위한 기초 구조로 n-군을 정의하는 것.
• 동일한 체 위의 n개의 벡터 공간의 직접곱으로서의 n-벡터 공간을 도입하여 다중 동시 선형 연산을 가능하게 하는 것.
• n-선형성을 유지하는 n-벡터 공간 간의 사상으로서의 n-선형 변환을 정의하는 것.
• n차원 잔차 노름을 최소화하는 방식으로 오차 보정을 위한 n-최적 근사를 제안하는 것.
• 구조역학 응용을 위해 n-행렬 이론에서 일반화된 특성방정식을 통한 n-고유값을 도입하는 것.
• 퍼지 논리에서의 복잡한 시스템 모델링을 위해 n-행렬을 적용하여, 예를 들어 퍼지 관계 방정식(Fuzzy Relational Equations)과 이중성 연관 기억(Bidirectional Associative Memories)을 다루는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 선형 대수 개념은 어떻게 다차원 데이터 구조를 동시에 다룰 수 있도록 일반화될 수 있는가?
• RQ2 유형 I의 n-벡터 공간과 n-선형 변환의 구조적 및 대수적 성질은 무엇인가?
• RQ3 n-고유값과 n-최적 근사는 공학 및 코드 이론 응용에서 효과적으로 활용될 수 있는가?
• RQ4 n-선형 대수는 어떻게 n-마르코프 체인과 n-레온티에프 입력-출력 모델을 모델링하고 분석하는 데 응용될 수 있는가?
• RQ5 n-행렬은 퍼지 인지 및 연관 기억 모델의 표현과 분석을 얼마나 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 유형 I의 n-선형 대수는 n-벡터 공간과 n-행렬를 사용하여 다중 상호의존적 데이터 스트림을 갖는 시스템을 모델링하는 공식적 프레임워크를 제공한다.
• 이론은 고전적 변환 이론을 확장하여 n차원 환경에서 다중 유형의 선형 변환을 지원한다.
• n-최적 근사는 n차원 오차 노름을 최소화하는 방식으로 코드 이론에서 오차 보정에 적용 가능함이 입증되었다.
• n-고유값은 일반화된 특성방정식에서 유도되며, 무쇠성 기계적 구조물에 대한 결정론적 모드 초월 원리에 응용될 수 있다.
• n-행렬은 퍼지 인지 지도(Fuzzy Cognitive Maps)와 이중성 연관 기억(Bidirectional Associative Memories)를 포함한 복잡한 퍼지 시스템 모델링 도구로 제안된다.
• n-마르코프 체인과 n-레온티에프 모델에 대한 응용은 n-선형 대수가 경제학적 및 확률적 모델링에서의 유용성을 입증한다.