[논문 리뷰] N-manifolds of degree 2 and metric double vector bundles

Madeleine Jotz|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 03.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 2차수 N-다양체와 메트릭 이중 벡터 다발 사이의 범주적 동치를 수립하며, 2차수 분할 푸아송 N-다양체가 호모토피에 관해 자기쌍대 표현과 동치임을 보여준다. 또한 라그랑주 분해를 통해 리 2대수대수와 VB-코르댕트 대수대수 사이의 범주적 동치를 증명하고, 도르만 2표현과 그 쌍대의 새로운 특성화를 제안한다.

ABSTRACT

This paper shows the equivalence of the categories of $N$-manifolds of degree $2$ with the category of double vector bundles endowed with a linear metric. Split Poisson $N$-manifolds of degree $2$ are shown to be equivalent to self-dual representations up to homotopy. As a consequence, the equivalence above induces an equivalence between so called metric VB-algebroids and Poisson $N$-manifolds of degree $2$. Then a new description of split Lie $2$-algebroids is given, as well as their "duals", the Dorfman $2$-representations. We show that Dorfman $2$-representations are equivalent in a simple manner to Lagrangian splittings of VB-Courant algebroids. This yields the equivalence of the categories of Lie $2$-algebroids and of VB-Courant algebroids. We give several natural classes of examples of split Lie $2$-algebroids and of the corresponding VB-Courant algebroids. We then show that a split Poisson Lie $2$-algebroid is equivalent to the "matched pair" of a Dorfman $2$-representation with a self-dual representation up to homotopy. We deduce a new proof of the equivalence of categories of LA-Courant algebroids and Poisson Lie $2$-algebroids. We show that the core of an LA-Courant algebroid inherits naturally the structure of a degenerate Courant algebroid. This yields a new formula to retrieve in a direct manner the Courant algebroid found by Roytenberg to correspond to a symplectic Lie $2$-algebroid. Finally we study VB- and LA-Dirac structures in VB- and LA-Courant algebroids. As an application, we extend Li-Bland's results on pseudo-Dirac structures and we construct a Manin pair associated to an LA-Dirac structure.

연구 동기 및 목표

• 2차수 N-다양체와 메트릭 이중 벡터 다발 사이의 범주적 동치를 수립하기.
• 2차수 분할 푸아송 N-다양체가 호모토피에 관해 자기쌍대 표현과 동치임을 보이기.
• 분할 리 2대수대수와 그 쌍대, 도르만 2표현의 새로운 특성화 제공.
• 리 2대수대수의 범주와 VB-코르댕트 대수대수의 범주 간 동치를 증명하기.
• LA-코르댕트 대수대수의 코어가 자연스럽게 열린 코르댕트 대수대수의 구조를 비트랙터로 가짐을 보여주기.

제안 방법

• 메트릭 이중 벡터 다발(MDVB)의 범주와 [2]-다양체의 범주 사이에 함자를 구성하여, 전사적이고 본질적으로 전사적인 동치를 증명하기.
• 메트릭 이중 벡터 다발의 라그랑주 분해를 이용해 도르만 2표현을 정의하고 VB-대수대수와 연관시키기.
• 2표현의 매칭 쌍 개념을 적용하여 분할 푸아송 리 2대수대수의 특성화하기.
• VB-대수대수의 쌍대화와 호모토피에 관한 표현 개념을 활용해 메트릭 VB-대수대수와 푸아송 구조를 연결하기.
• VB-코르댕트 대수대수와 도르만 2표현을 연결하기 위해 '胖 코르댕트 대수대수' 구성법을 도입하기.
• LA-코르댕트 대수대수의 코어를 이용해 푸아송 괄호와 도르만 접속의 이중곱으로서 열린 코르댕트 대수대수의 구조를 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차수 N-다양체는 메트릭 이중 벡터 다발과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 분할 푸아송 N-다양체의 2차수와 자기쌍대 2표현 간의 범주적 동치는 무엇인가?
• RQ3 도르만 2표현은 VB-코르댕트 대수대수의 라그랑주 분해와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 리 2대수대수와 VB-코르댕트 대수대수 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 LA-코르댕트 대수대수의 코어는 어떻게 열린 코르댕트 대수대수의 구조를 자연스럽게 유도하는가?

주요 결과

• 메트릭 이중 벡터 다발의 범주와 [2]-다양체의 범주 사이에 완전충실하고 본질적으로 전사적인 함자가 존재하여 범주적 동치를 수립한다.
• 2차수 분할 푸아송 N-다양체는 호모토피에 관해 자기쌍대 표현과 동치이며, 이러한 구조의 새로운 특성화를 제공한다.
• 도르만 2표현은 VB-코르댕트 대수대수의 라그랑주 분해와 동치이며, 새로운 기하학적 해석을 제공한다.
• 리 2대수대수의 범주와 VB-코르댕트 대수대수의 범주 간 동치는 '胖 코르댕트 대수대수' 구성법을 통해 증명된다.
• LA-코르댕트 대수대수의 코어는 자연스럽게 열린 코르댕트 대수대수의 구조를 지니며, 이는 푸아송 괄호와 도르만 접속의 이중곱으로 표현된다.
• 대칭적 리 2대수대수에 대응하는 코르댕트 대수대수의 재구성에 사용할 수 있는 새로운 공식이 유도되었으며, 이는 직접적으로 매칭 쌍의 구조에서 유도된다.