[논문 리뷰] N-site phosphorylation systems with 2N-1 steady states

Dietrich Flockerzi, Katharina Holstein외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 17.

Advanced Proteomics Techniques and Applications참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 n개의 서열적 분포형 인산화 시스템이 최대 2N−1개의 평형 상태를 가질 수 있음을 보여주며, Wang과 Sontag가 이전에 제안한 추측(홀수 n일 경우 최대 n개, 짝수 n일 경우 최대 n+1개)을 반박한다. 다중평형 상태를 결정하는 스칼라 방정식을 사용하여, 3개의 서열 시스템에서 5개의 평형 상태, 4개의 서열 시스템에서 7개의 평형 상태를 나타내는 명시적인 매개변수 조합을 구성함으로써, 이는 추측에 대한 첫 번째 반례를 제시하고, 효소와 기질 농도 비율을 통한 평형 상태 비율에 대한 깊은 기하학적 제약을 드러낸다.

ABSTRACT

Multisite protein phosphorylation plays a prominent role in intracellular processes like signal transduction, cell-cycle control and nuclear signal integration. Many proteins are phosphorylated in a sequential and distributive way at more than one phosphorylation site. Mathematical models of $n$-site sequential distributive phosphorylation are therefore studied frequently. In particular, in {\em Wang and Sontag, 2008,} it is shown that models of $n$-site sequential distributive phosphorylation admit at most $2n-1$ steady states. Wang and Sontag furthermore conjecture that for odd $n$, there are at most $n$ and that, for even $n$, there are at most $n+1$ steady states. This, however, is not true: building on earlier work in {\em Holstein et.al., 2013}, we present a scalar determining equation for multistationarity which will lead to parameter values where a $3$-site system has $5$ steady states and parameter values where a $4$-site system has $7$ steady states. Our results therefore are counterexamples to the conjecture of Wang and Sontag. We furthermore study the inherent geometric properties of multistationarity in $n$-site sequential distributive phosphorylation: the complete vector of steady state ratios is determined by the steady state ratios of free enzymes and unphosphorylated protein and there exists a linear relationship between steady state ratios of phosphorylated protein.

연구 동기 및 목표

• Wang과 Sontag가 제기한 장기적인 추측, 즉 n개 서열의 순차적 분포형 인산화 시스템에서 평형 상태의 최대 수에 관한 문제를 해결하기 위해.
• 이러한 시스템에서 다중평형 상태의 기하학적 구조, 특히 인산화된 종의 평형 상태 비율 간의 관계를 조사하기 위해.
• 고수준의 평형 상태 수를 지지하는 명시적인 매개변수 조합을 가능하게 하는 스칼라 결정 방정식을 개발하기 위해.
• 상대 평형 상태 비율의 공선성에 기반한 다중평형 상태의 그래픽 테스트를 제공하기 위해.

제안 방법

• 질량작용 속도 법칙 하에 n개 서열 인산화 시스템에서 다중평형 상태를 위한 스칼라 결정 방정식을 유도한다.
• 토닉 평형 상태의 유리적 매개변수화를 사용하여 평형 상태 비율을 자유 효소와 인산화되지 않은 단백질 농도 비율로 표현한다.
• 모든 평형 상태 비율 벡터가 킬라제이즈, 인산화효소, 그리고 인산화되지 않은 단백질 농도 비율에 의해 완전히 결정됨을 입증한다.
• 킬라제이즈 농도 대 인산화효소 농도 비율을 매개변수로 삼아, 인산화된 단백질의 평형 상태 비율 간의 선형 관계를 도입한다.
• 두 평형 상태가 동일한 다중평형 다양체에 속해 있는지를 식별하기 위해 코셋 조건 Z(b−a)=0를 적용한다.
• 상대 비율 (αi, βi)의 공선성을 기반으로 한 그래픽 테스트를 개발하여, 두 측정된 평형 상태가 동일한 다중평형 코셋에 속해 있는지 여부를 판단한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n개 서열의 순차적 분포형 인산화 시스템이 이전에 추측된 것처럼 2n−1개 이상의 평형 상태를 지닐 수 있는가?
• RQ2 다중평형 상태 시스템에서 평형 상태 농도 비율을 규명하는 기하학적 제약은 무엇인가?
• RQ3 다수의 평형 상태를 지지하는 명시적인 매개변수 조합을 가능하게 하는 스칼라 결정 방정식을 유도할 수 있는가?
• RQ4 두 측정된 평형 상태가 동일한 다중평형 다원에 속해 있는지를 판단할 수 있는 그래픽 방법이 존재하는가?
• RQ5 다중평형 상태 시스템에서 인산화된 종의 비율은 효소 비율에 의해 매개변수화된 선형 관계를 따른다.

주요 결과

• 논문은 홀수 n에 대해 n=3일 때 최대치로 추측된 것보다 높은 5개의 평형 상태를 지닌 3개 서열 시스템에 대해 명시적인 매개변수 조합을 구성한다.
• 짝수 n에 대해 n+1=5로 추측된 최대치를 초월하여, 4개 서열 시스템에서 7개의 평형 상태를 지닌 매개변수 조합을 발견한다.
• 결과적으로 Wang과 Sontag의 추측, 즉 홀수 n일 경우 최대 n개, 짝수 n일 경우 최대 n+1개의 평형 상태로 제한된다는 주장은 반박된다.
• 모든 종의 평형 상태 비율은 자유 킬라제이즈, 자유 인산화효소, 그리고 인산화되지 않은 단백질 농도 비율에 의해 완전히 결정된다.
• 인산화된 단백질의 평형 상태 비율 간에 선형 관계가 존재하며, 기울기 ξ = ΓE₁ / ΓE₂로 표현되어 모든 인산화 수준에서 비율 간의 연결을 제공한다.
• 상대 비율 (αi, βi) 쌍이 직선 β = ξα 위에 공선성을 띠는지 여부를 기반으로 한 그래픽 테스트를 통해, 두 측정된 평형 상태가 동일한 다중평형 코셋에 속해 있는지 여부를 판단할 수 있다.