[논문 리뷰] Narrow-Sense BCH Codes over $\gf(q)$ with Length $n=\frac{q^m-1}{q-1}$

Shuxing Li, Cunsheng Ding외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 22.

Coding theory and cryptography참고 문헌 25인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 길이 $n = \frac{q^m - 1}{q - 1}$인 $\mathrm{GF}(q)$ 위의 협소한 범주 BCH 코드를 조사하며, 특히 길이 $n = \frac{3^m - 1}{2}$인 삼진 코드($q=3$)에 초점을 맞춘다. 특정 코드의 차원, 최소 거리, 무게 분포를 규명하고, Griesmer 경계를 충족하는 삼진 BCH 코드의 집합을 식별하며, 이들의 무게 분포를 활용하여 흥미로운 액세스 구조를 가진 비밀 공유 스키마에의 응용을 보여준다.

ABSTRACT

Cyclic codes over finite fields are widely employed in communication systems, storage devices and consumer electronics, as they have efficient encoding and decoding algorithms. BCH codes, as a special subclass of cyclic codes, are in most cases among the best cyclic codes. A subclass of good BCH codes are the narrow-sense BCH codes over $\gf(q)$ with length $n=(q^m-1)/(q-1)$. Little is known about this class of BCH codes when $q>2$. The objective of this paper is to study some of the codes within this class. In particular, the dimension, the minimum distance, and the weight distribution of some ternary BCH codes with length $n=(3^m-1)/2$ are determined in this paper. A class of ternary BCH codes meeting the Griesmer bound is identified. An application of some of the BCH codes in secret sharing is also investigated.

연구 동기 및 목표

• 길이 $n = \frac{q^m - 1}{q - 1}$인 $\mathrm{GF}(q)$ 위의 협소한 범주 BCH 코드의 차원, 최소 거리, 무게 분포를 규명하는 것. 특히 $q=3$의 경우에 중점을 두며.
• Griesmer 경계를 충족하는 삼진 BCH 코드의 집합을 식별하여, 주어진 길이와 차원에서 최소 거리 측면에서 최적임을 확인하는 것.
• 이 코드들이 비밀 공유 스키마에 어떻게 응용될 수 있는지 탐색하며, 무게 분포를 활용해 흥미로운 액세스 구조를 달성하는 것.
• 현재까지 $q > 2$에서 거의 다뤄지지 않은 이 범주에 속하는 BCH 코드에 대한 체계적인 연구를 시작하고, 향후 연구를 위한 열린 문제를 제시하는 것.

제안 방법

• 협소한 범주 BCH 코드의 생성 다항식을 결정하기 위해 $\mathrm{GF}(q)$ 위에서 순환 코셋과 최소 다항식을 활용한다.
• BCH 경계를 적용하여 설계 거리 $\delta$에 기반해 최소 거리의 하한을 설정한다.
• 유한체 위에서의 이차 형식과 추적 함수를 활용해 코드의 무게 분포를 분석한다.
• 순환 코셋의 기수를 통해 차원을 재귀적으로 계산함으로써, 증가하는 설계 거리에 따른 코드의 차원을 규명한다.
• 참고문헌 [1, 7, 28, 30]의 프레임워크를 활용해 $w_{\text{min}}/w_{\text{max}} > (q-1)/q$ 조건을 만족하는 선형 코드로부터 비밀 공유 스키마를 구성한다.
• 컴퓨터 도구(예: Magma)를 활용해 예시를 분석하고 $q > 3$에 대한 코드 매개변수에 대한 추측을 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이 $n = \frac{3^m - 1}{2}$인 $\mathrm{GF}(3)$ 위의 협소한 범주 BCH 코드의 차원, 최소 거리, 무게 분포는 무엇인가요?
• RQ2 이 삼진 BCH 코드들 중에서 Griesmer 경계를 충족하는 것은 무엇이며, 이는 최적성(최소 거리 측면에서)을 의미합니까?
• RQ3 이 코드들을 사용하여 비트리비어 액세스 구조를 가진 비밀 공유 스키마를 구성할 수 있나요?
• RQ4 $\lceil m/2 \rceil < i \leq m-1$인 경우 코드 $\mathcal{C}_{(n,q,m,(q^i-1)/(q-1))}$의 구조는 어떻게 되나요?
• RQ5 $q > 3$일 때 가장 큰 및 두 번째로 큰 코셋 리더는 무엇이며, 이에 대응하는 코드의 매개변수는 무엇입니까?

주요 결과

• 차원이 $i \geq 3$인 협소한 범주 BCH 코드 $\mathcal{C}_{(n,3,m,\delta_i)}$의 차원은 $\mathcal{C}_{(n,3,m,\delta_2)}$의 차원이 주어져 있을 때 순환 코셋 $C_{\delta_i}$의 기수를 이용해 재귀적으로 계산할 수 있다.
• Griesmer 경계를 충족하는 삼진 BCH 코드의 집합을 식별하였으며, 이는 주어진 길이와 차원에서 최소 거리 측면에서 최적임을 확인한다.
• 정리 16, 17 및 21에서 유도된 코드들은 $m \geq 5$일 때 조건 $w_{\text{min}}/w_{\text{max}} > 2/3$를 만족하여, 흥미로운 액세스 구조를 가진 비밀 공유 스키마를 구성할 수 있다.
• 일부 삼진 BCH 코드의 무게 분포를 완전히 규명하였으며, 특히 코셋 리더에 대응하는 설계 거리 $\delta_i$를 가진 코드에 대해 해당된다.
• 모든 $i \leq \lceil m/4 \rceil$에 대해 $\mathcal{C}_{(n,3,m,\delta_i)}$ 및 $\tilde{\mathcal{C}}_{(n,3,m,\delta_i)}$의 매개변수를 확정하였으며, $|C_{\delta_i}|$에 기반한 재귀적 차원 계산을 수행하였다.
• 코드 $\mathcal{C}_{(n,q,m,(q^{m-1}-1)/(q-1))}$의 차원은 $q = p^s$일 때 $\binom{p+m-2}{m-1}^s + 1$로 하한이 존재하며, 예시들은 이 하한보다 훨씬 큰 값을 가짐을 시사한다.