[논문 리뷰] Natural generalized inverse and core of an element in semigroups, rings and Banach and Operator Algebras

Xavier Mary|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 16.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 19인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 반군, 환, 바나흐/연산자 대수에서 원소의 자연스러운 일반화된 역과 핵을 도입하며, 드라자인 및 코리하-드라자인 역의 일반화를 제공한다. 역의 역과 등급원소의 자연스러운 부분순서를 이용하여, 군속, 카토, 멤테아 분해와 유사한 핵 분해를 수립하며, 연산자 대수에서 스펙트럼 이론 및 국소 스펙트럼 이론에 적용한다.

ABSTRACT

Using the recent notion of inverse along an element in a semigroup, and the natural partial order on idempotents, we study bicommuting generalized inverses and define a new inverse called natural inverse, that generalizes the Drazin inverse in a semigroup, but also the Koliha-Drazin inverse in a ring. In this setting we get a core decomposition similar to the nilpotent, Kato or Mbekhta decompositions. In Banach and Operator algebras, we show that the study of the spectrum is not sufficient, and use ideas from local spectral theory to study this new inverse.

연구 동기 및 목표

• 반군과 환에서 원소의 역의 역 개념을 이용하여 드라자인 및 코리하-드라자인 역을 일반화한다.
• 대수적 및 연산자 이론적 맥락에서 기존의 일반화된 역들을 통합하고 확장하는 새로운 역, 즉 자연스러운 역을 정의한다.
• 자연스러운 역을 이용하여 군속, 카토 또는 멤테아 분해와 유사한 핵 분해를 수립한다.
• 바나흐 대수와 연산자 대수에서 국소 스펙트럼 이론의 역할을 조사하며, 스펙트럼 성질만으로 자연스러운 역을 특성화하는 데는 부족하다는 것을 보인다.
• 자연스러운 역과 관련된 초잉variante 부분공간과 사영의 구조를 탐구하며, 특히 분석적 핵과 스펙트럼 성질과의 관계를 중심으로 분석한다.

제안 방법

• 반군에서의 원소의 역의 역 개념을 이용하며, 그린의 전순서와 등급원소의 자연스러운 부분순서를 기반으로 한다.
• 자연스러운 일반화된 역을 정의한다. 이는 원소와 가환하는 등급원소들의 집합 중에서 $ eae \mathcal{H} e $ 를 만족하는 최대 원소로, 역의 역을 핵심 도구로 사용한다.
• 역의 역을 적용하여 등가 조건를 유도한다: $ d \leq_{\mathcal{R}} da $ 이고 $ (da)^\sharp $ 가 존재하거나, $ dad \mathcal{H} d $ 이며, 이 경우 $ a^{\parallel d} = d(ad)^\sharp = (da)^\sharp d $ 라 한다.
• 등급원소의 자연스러운 부분순서를 이용하여 $ \Sigma_0(a), \Sigma_1(a), \Sigma_2(a) $ 를 정의하며, $ \Sigma_2(a) $ 에서의 최대 등급원소를 자연스러운 역의 핵 사영으로 식별한다.
• 바나흐 대수에서 국소 스펙트럼 이론을 적용하여 자연스러운 역을 분석하며, 특히 분석적 핵 $ K(T) $, 초잉variante 보완부분공간 $ N $, 0에서의 단일값 확장 성질(SVEP)에 집중한다.
• 스펙트럼 분해와 초잉variante 부분공간의 구조를 이용하여, $ K(T) $ 가 닫혀 있고 초잉variante로 보완 가능할 때 자연스러운 역이 존재함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반군과 환에서 드라자인 및 코리하-드라자인 역을 통합하고 단일 프레임워크 내에서 일반화할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 등급원소의 자연스러운 부분순서를 이용하여 원소의 역의 역이 자연스러운 일반화된 역을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 바나흐 대수와 연산자 대수에서 자연스러운 역의 존재에 필요한 충분한 스펙트럼 및 국소 스펙트럼 성질은 무엇인가?
• RQ4 자연스러운 역은 분석적 핵 $ K(T) $, 초잉variante 보완부분공간, 0에서의 단일값 확장 성질(SVEP)과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 자연스러운 역이 군속 또는 카토 분해와 유사한 핵 분해를 갖기 위한 조건는 무엇인가?

주요 결과

• 자연스러운 역이 존재하는 것은 분석적 핵 $ K(T) $ 가 닫혀 있고 초잉variante로 보완 가능할 때이고, $ \Sigma_2(T) $ 에서의 최대 등급원소는 $ K(T) $ 에 대한 사영이다.
• 자연스러운 역의 핵, $ TM = TBT $ 는 분석적 핵 $ K(T) $ 의 닫힌 초잉variante 보완 부분공간이며, $ TK_\nu(T) = K_\nu(T) $ 를 만족한다.
• 만약 $ K(T) = \{0\} $ 이면 $ \Sigma_1(T) = \{0\} $ 이고, 마찬가지로 $ \overline{H_0(T)} = X $ 이면 $ \Sigma_1(T) = \{0\} $ 이며, 이는 이러한 경우 자연스러운 역이 자명하다는 것을 의미한다.
• 일반적인 이동 연산자 $ S $ 는 $ \ell^2(\mathbb{N}) $ 에서 정의되며, $ \Sigma_1(S) = \{0\} $ 이다. 이는 $ S $ 가 준극소가 아니지만, 그 초잉범위가 자명하기 때문이다.
• 강하게 기약가능한 연산자들은 $ \Sigma_1(T) = \{0\} $ 을 만족하며, 스펙트럼 $ \sigma(T) $ 가 연결되어 있는 것은 $ T $ 가 이러한 연산자들의 노름 닫힘에 속해 있을 때이고 오직 그 때에만 성립한다.
• 만약 $ \sigma(X) \cap \sigma(Y) = \{0\} $ 이면, 연산자 $ T = \begin{pmatrix} X & 0 \\ 0 & Y \end{pmatrix} $ 는 자연스러운 핵 분해를 가지며, $ M = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $ 는 $ \Sigma_2(T) $ 의 최대 원소로서 일관되게 작용한다. 이는 로젠블룸의推론과 일치한다.