[논문 리뷰] Natural halting probabilities, partial randomness, and zeta functions

Cristian S. Calude, Michael Stay|arXiv (Cornell University)|2006. 11. 01.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 23인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 튜링 기계의 제타 수, 자연적 정지 확률, 자연적 복잡도를 도입하여, 기계를 발산형, 수렴형, 또는 tuatara로 분류하는 새로운 프레임워크를 수립한다. 이 프레임워크는 보편 수렴형 및 tuatara 기계의 존재를 증명하며, 보편 tuatara 기계의 제타 수가 계산 가능성으로 열거 가능하고 알고리즘적으로 무작위임을 보이며, 순수 복잡도 기반의 특성화를 통해 새로운 형태의 부분 무작위성인 점근 무작위성을 도입한다.

ABSTRACT

We introduce the zeta number, natural halting probability, and natural complexity of a Turing machine and we relate them to Chaitin's Omega number, halting probability, and program-size complexity. A classification of Turing machines according to their zeta numbers is proposed: divergent, convergent, and tuatara. We prove the existence of universal convergent and tuatara machines. Various results on (algorithmic) randomness and partial randomness are proved. For example, we show that the zeta number of a universal tuatara machine is c.e. and random. A new type of partial randomness, asymptotic randomness, is introduced. Finally we show that in contrast to classical (algorithmic) randomness--which cannot be naturally characterised in terms of plain complexity--asymptotic randomness admits such a characterisation.

연구 동기 및 목표

• 차이틴의 옴가 수와 프로그램 크기 복잡도의 유사체로서 튜링 기계의 제타 수, 자연적 정지 확률, 자연적 복잡도를 정의하고 분석한다.
• 제타 수에 기반하여 튜링 기계를 발산형, 수렴형, tuatara 유형으로 분류한다.
• 이러한 새로운 측정치의 알고리즘적 무작위성 및 부분 무작위성 성질, 특히 보편 기계에 대해 연구한다.
• 새로운 형태의 부분 무작위성인 '점근 무작위성'을 도입하고 공식화하며, 순수 복잡도와의 관계를 규명한다.

제안 방법

• 튜링 기계의 제타 수를 모든 정지 프로그램에 대해 2^(-|p|)의 합으로 정의한다. 여기서 |p|는 프로그램 p의 길이다.
• 제타 수의 수렴 행동에 따라 튜링 기계를 분류한다: 발산형(무한합), 수렴형(유한합), 또는 tuatara(수렴형이지만 계산 가능성으로 열거 불가능).
• 대각선화 및 인코딩 기법을 사용하여 수렴형 및 tuatara 유형 내의 보편 기계를 구성하고, 그 존재성을 증명한다.
• 제타 수와 알고리즘적 무작위성 간의 관계를 분석하여 제타 수의 알고리즘적 정보 내용을 연구한다.
• 실수의 이진 전개에서 비트의 상대 빈도가 극한에서 1/2에 수렴하는 경우를 고려하여 점근 무작위성을 부분 무작위성의 한 형태로 도입한다.
• 순수 복잡도(K(x))를 사용하여 점근 무작위성을 특성화하며, 실수가 점근적으로 무작위임을 보여주기 위해 그 초기 세그먼트의 순수 복잡도가 하위항까지 최대임을 조건으로 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 튜링 기계에 대해 차이틴의 옴가 수를 일반화하는 자연적 정지 확률을 정의할 수 있는가?
• RQ2 수렴형 또는 tuatara 유형 내에 보편 튜링 기계가 존재하는가? 그리고 그 성질은 무엇인가?
• RQ3 보편 tuatara 기계의 제타 수가 계산 가능성으로 열거 가능하고 알고리즘적으로 무작위인가?
• RQ4 순수 복잡도 기반으로 특성화할 수 있는 새로운 형태의 부분 무작위성인 '점근 무작위성'을 정의하고 특성화할 수 있는가?
• RQ5 복잡도 기반 특성화 측면에서 점근 무작위성은 고전적 알고리즘적 무작위성과 어떻게 다를까?

주요 결과

• 보편 tuatara 기계의 제타 수는 계산 가능성으로 열거 가능하고 알고리즘적으로 무작위이다.
• 보편 수렴형 및 tuatara 튜링 기계가 존재함을 보여주며, 수렴성과 보편성은 호환 가능하다는 것을 입증한다.
• 보편 tuatara 기계의 제타 수는 랜덤함을 넘어서 계산 가능성 이론과 연결되는 c.e. 실수의 클래스에 속함을 보여주며, 알고리즘적 무작위성과 계산 가능성 이론을 연결한다.
• 점근 무작위성은 순수 복잡도 기반의 특성화를 허용하는 새로운 형태의 부분 무작위성으로 도입된다.
• 고전적 알고리즘적 무작위성은 순수 복잡도로 특성화될 수 없지만, 점근 무작위성은 초기 세그먼트의 순수 복잡도가 하위항까지 최대임을 조건으로 하여 완전히 특성화된다.
• 이 논문은 보편 tuatara 기계의 제타 수가 자연스럽고 무작위적이며 c.e. 실수임을 입증하며, 알고리즘적 무작위성의 새로운 표준 예를 제공한다.