[논문 리뷰] Natural nonequilibrium states in quantum statistical mechanics

David Ruelle|ArXiv.org|1999. 06. 07.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 14인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 유한한 부분계가 서로 다른 온도를 가진 무한한 열 reservoir에 연결된 양자 스핀계에서 자연스러운 비평형 정상상(NNES)을 정의하기 위한 엄밀한 프레임워크를 제안한다. 시간 적분의 수렴을 바탕으로 한 공리적 접근을 통해 평형에서 멀리 떨어진 영역에서도 유효한 선형 반응 공식을 수립하며, 시간이 일정한 경우 KMS 상태와 유사한 해석적 성질을 유지한다.

ABSTRACT

A quantum spin system is discussed, where a heat flow between infinite reservoirs takes place in a finite region. A time dependent force may also be acting. Our analysis is based on a simple technical assumption concerning the time evolution of infinite quantum spin systems. This assumption, physically natural but currently proved for few specific systems only, says that quantum information diffuses in space-time in such a way that the time integral of the commutator of local observables converges: $\int_{-\infty}^0dt ||[B,α^tA]||

연구 동기 및 목표

• 유한한 부분계가 서로 다른 온도를 가진 무한한 reservoir에 연결된 양자 스핀계에 대해 자연스러운 비평형 정상상(NNES)을 정의하기.
• 시간이 일정한 경우 KMS 평형 상태와 유사한 해석적 성질을 유지하는 비평형 상태에 대한 수학적 프레임워크를 수립하기.
• 작은 상호작용 변화에 대한 선형 반응 공식을 유도하여, 평형에서 멀리 떨어진 영역에서도 유효하도록 하기.
• 해밀턴력에 의한 비평형 동역학 문제를 다루며, 비해밀턴계 열역학장치를 사용하지 않기.
• 열역학적 열전도 및 반응을 분석하기 위한 기초를 제공하기 위해 $C^*$-대수적 방법과 시간 진동의 등장사상(시간 진동 등장사상)을 사용하기.

제안 방법

• 무한한 양자 스핀계의 시간 진동에 대해 기술적 가정(A1)–(A5)을 도입하며, 특히 국소 관측량에 대해 $\int dt\, ||[B, \alpha^t A]|| < \infty $ 의 수렴을 요구한다.
• 전체 상호작용 대수 $\mathcal{A}$ 와 reservoir 대수 $\mathcal{A}_{>}$ 사이의 $*$-등장사상 $\omega_t$ 를 정의하여, 전체 시간 진동 $\alpha^t$ 와 비상호작용 진동 $\breve{\alpha}^t$ 를 연결한다.
• NNES $\rho_t$ 는 먼 과거에 비상호작용 평형 상태 $\sigma$ 를 점 渐진적으로 따르는 상태로 정의되며, $\rho_t = \omega_t^{-1} \circ \sigma$ 로 표현된다.
• 상호작용 해밀토니언의 변화 $\delta h(\cdot)$ 에 대한 선형 반응 공식을 유도한다: $\frac{d}{d\lambda}\rho_t^\lambda(A)\big|_{\lambda=0} = i\int_{-\infty}^t d\tau\, \rho_t([\alpha(t,\tau)\delta h(\tau), A])$.
• 시간 순서 정렬된 섭동 전개와 $\omega_t$ 가 작은 변화에 대해 안정적임을 이용하여 $\rho_t^\lambda(A)$ 의 미분 가능성과 해석성의 타당성을 입증한다.
• 반복된 교환자와 시간 순서 정렬된 적분을 사용하여 고차 반응 공식을 수립하며, 교환자 노름의 균일 수렴 조건 하에서 유효하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서로 다른 온도를 가진 여러 무한한 reservoir에 연결된 유한한 양자계에 대해 잘 정의된 비평형 정상상을 구성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 NNES 는 시간이 일정한 경우 KMS 상태와 유사한 해석적 성질을 유지하는가?
• RQ3 伝통적인 그린-쿠보 또는 온사거 유형의 접근과는 달리, 평형에서 멀리 떨어진 영역에서도 유효한 선형 반응 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 상호작용이 있는 양자계의 역학을 비상호작용 기준 역학과 $*$-등장사상으로 어떻게 연결할 수 있는가?
• RQ5 국소 관측량의 시간 진동이 교환자 적분의 수렴을 보장하기 위해 어떤 조건이 필요한가?

주요 결과

• 자연스러운 비평형 상태 $\rho_t$ 는 비상호작용 평형 상태 $\sigma$ 를 상호작용계 상태로 매핑하는 $*$-등장사상 $\omega_t$ 를 통해 정의되며, 먼 과거에서의 점근적 일致성을 보장한다.
• 시간이 일정한 경우, NNES $\rho_t = \rho$ 는 시간에 독립적이며, 비평형 상태임에도 불구하고 KMS 상태와 유사한 해석적 성질을 유지한다.
• 선형 반응 공식이 도출된다: $\frac{d}{d\lambda}\rho_t^\lambda(A)\big|_{\lambda=0} = i\int_{-\infty}^t d\tau\, \rho_t([\alpha(t,\tau)\delta h(\tau), A])$, $A \in (\alpha^t)^{-1}\mathcal{E}$ 에 대해 유효하며, 평형에서 멀리 떨어진 영역에서도 성립한다.
• 고차 반응 도함수는 반복된 시간 순서 정렬된 적분과 중첩된 교환자로 표현된다: $\frac{1}{n!}\frac{d^n}{d\lambda^n}\rho^\lambda(A)\big|_{\lambda=0} = i^n \int_{0}^{\infty} d\sigma_1 \cdots \int_{0}^{\infty} d\sigma_n \, \rho([k, \alpha^{-\sigma_1}[k, \cdots [k, \alpha^{-\sigma_n} A]\cdots]])$.
• $\rho_t^\lambda(A)$ 가 $\lambda=0$ 에서 미분 가능함은 $\int_{-\infty}^0 d\tau\, ||[k(\tau), \alpha^\lambda(\tau,t)A]||$ 의 균일 수렴 조건에 의해 보장되며, 이는 $\lambda=0$ 근방에서 반응의 해석성을 보장한다.
• 이 프레임워크는 공리적이다: 핵심 기술적 가정(교환자 적분의 수렴)은 물리적으로 자연스럽지만, 현재까지는 몇몇 특정 양자 스핀계에 대해서만 엄밀히 증명되었다.