[논문 리뷰] Natural Selection as an Inhibitor of Genetic Diversity: Multiplicative Weights Updates Algorithm and a Conjecture of Haploid Genetics

Ruta Mehta, Ioannis Panageas외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 26.

Evolutionary Game Theory and Cooperation참고 문헌 21인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 이배체 유전 시스템에서 자연선택이 이산 복제자 동역학(즉, 승수 가중치 업데이트 알고리즘(MWUA)과 동치)을 통해 조정 게임에서 순수 내쉬 균형으로 수렴함을 규명한다. 이는 측도가 0인 초기 조건 집합을 제외하고는 장기적으로 유전적 다양성이 소멸됨을 의미한다. 지수적으로 많은 혼합 내쉬 균형이 존재할 수 있음에도 불구하고, 약한 선택 조건 하에서 동역학은 거의 확실히 순수 전략 결과를 선호한다.

ABSTRACT

In a recent series of papers a surprisingly strong connection was discovered between standard models of evolution in mathematical biology and Multiplicative Weights Updates Algorithm, a ubiquitous model of online learning and optimization. These papers establish that mathematical models of biological evolution are tantamount to applying discrete Multiplicative Weights Updates Algorithm, a close variant of MWUA, on coordination games. This connection allows for introducing insights from the study of game theoretic dynamics into the field of mathematical biology. Using these results as a stepping stone, we show that mathematical models of haploid evolution imply the extinction of genetic diversity in the long term limit, a widely believed conjecture in genetics. In game theoretic terms we show that in the case of coordination games, under minimal genericity assumptions, discrete MWUA converges to pure Nash equilibria for all but a zero measure of initial conditions. This result holds despite the fact that mixed Nash equilibria can be exponentially (or even uncountably) many, completely dominating in number the set of pure Nash equilibria. Thus, in haploid organisms the long term preservation of genetic diversity needs to be safeguarded by other evolutionary mechanisms such as mutations and speciation.

연구 동기 및 목표

• 이배체 진화 수학 모델이 장기적으로 유전적 다양성 손실로 이어지는지 조사하기 위해.
• 인구 유전학과 게임이론적 동역학 간의 관계를 공식화하기 위해, 특히 이산 복제자 동역학과 MWUA 간의 관계를.
• 약한 선택과 일반성 조건 하에서, 조정 게임에서 이산 복제자 동역학이 순수 내쉬 균형으로 수렴함을 증명하기 위해.
• 이배체 시스템에서 유전적 다양성의 소멸에 관해 오랫동안 제기된 인구유전학적 추측을 해결하기 위해.

제안 방법

• 각 유전자가 플레이어이고, 앨레르그가 전략이 되는 조정 게임으로 이배체 진화를 모델링하기 위해.
• 상대적 적합도에 기반한 형질 빈도 업데이트를 시뮬레이션하기 위해 이산 복제자 동역학(MWUA의 변종)을 적용하기 위해.
• 중앙 안정 다변량 정리(Center Stable Manifold Theorem)를 사용하여 수렴 행동을 분석하고, 거의 모든 초기 조건에서 불안정한 고정점들을 배제하기 위해.
• 고정점에서의 자코비안 행렬의 트레이스 제곱이 전략 수로 유계임을 증명하여 안정성과 순수 균형으로의 수렴을 의미하기 위해.
• Lebesgue 측도가 0인 집합을 제외한 모든 초기 조건에서 순수 내쉬 균형으로의 수렴을 확립하기 위해.
• 유전적 다양성의 지배를 방지하기 위해, 적합도 행렬의 각 행과 열에 서로 다른 원소가 있음을 가정하는 일반성 조건을 활용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이배체 생물에서 자연선택은 장기적으로 유전적 다양성을 소멸시킬까?
• RQ2 약한 선택 조건 하에서 조정 게임에서 이산 복제자 동역학의 수렴이 거의 모든 초기 조건에서 엄밀히 증명될 수 있는가?
• RQ3 지수적으로 많은 혼합 내쉬 균형이 존재하는 시스템이지만, 왜 MWUA 동역학 하에서는 여전히 순수 균형으로 수렴하는가?
• RQ4 MWUA와 인구유전학의 연결고리는 왜 순수 전략 결과의 지배를 설명하는가?
• RQ5 일반성 가정은 왜 순수 균형으로의 수렴을 보장하는 데 기여하는가?

주요 결과

• 조정 게임에서 이산 복제자 동역학은 Lebesgue 측도가 0인 집합을 제외한 모든 초기 조건에서 순수 내쉬 균형으로 수렴한다.
• 약한 선택과 최소한의 일반성 조건(적합도 행렬의 각 행과 열에 서로 다른 원소가 있음) 하에서도 수렴은 견고하다.
• 비가산적으로 많은 혼합 내쉬 균형이 존재할 수 있음에도 불구하고, 동역학은 거의 확실히 그들을 피함으로써 순수 균형으로의 강력한 흡인 효과를 나타낸다.
• 고정점에서 자코비안 행렬의 제곱의 트레이스는 전략 수로 유계이며, 이는 안정성과 순수 균형으로의 수렴을 의미한다.
• 이 결과는 인구유전학에서 오랫동안 제기된 추측을 확인한다: 자연선택만으로는 이배체 시스템에서 유전적 다양성을 유지할 수 없다.
• 연구 결과는 돌연변이와 종 분화와 같은 메커니즘이 이배체 생물에서 장기적인 유전적 다양성을 유지하는 데 필수적임을 강조한다.