[논문 리뷰] Navier-Stokes-alpha model: LES equations with nonlinear dispersion

J. Andrzej Domaradzki, Darryl D. Holm|ArXiv.org|2001. 03. 23.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 23인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 비선형 분산을 갖는 대규모eddies 시뮬레이션(Large Eddy Simulation, LES) 프레임워크로 나비에-스토크스-알파(NS-$\alpha$) 모델을 제안하며, 이는 일반화된 LES 유사 모델의 일종과 대응됨을 보여준다. 이 모델에 근사 역함수를 적용할 경우 켈빈 순환정리가 복원되며, NS-$\alpha$는 소규모 자기상호작용을 억제하면서도 대규모 비국소적 스위핑 효과를 유지함으로써 물리적 관찰가능성의 핵심 불변성을 유지하면서도 계산 효율성을 향상시킨다.

ABSTRACT

We present a framework for discussing LES equations with nonlinear dispersion. In this framework, we discuss the properties of the nonlinearly dispersive Navier-Stokes-alpha model of incompressible fluid turbulence --- also called the viscous Camassa-Holm equations and the LANS equations in the literature --- in comparison with the corresponding properties of large eddy simulation (LES) equations obtained via the approximate-inverse approach. In this comparison, we identify the spatially filtered NS-alpha equations with a class of generalized LES similarity models. Applying a certain approximate inverse to this class of LES models restores the Kelvin circulation theorem for the defiltered velocity and shows that the NS-alpha model describes the dynamics of the defiltered velocity for this class of generalized LES similarity models. We also show that the subgrid scale forces in the NS-alpha model transform covariantly under Galilean transformations and under a change to a uniformly rotating reference frame. Finally, we discuss in the spectral formulation how the NS-alpha model retains the local interactions among the large scales, retains the nonlocal sweeping effects of large scales on small scales, yet attenuates the local interactions of the small scales amongst themselves.

연구 동기 및 목표

• NS-$\alpha$ 모델이 비선형 분산을 갖는 대규모eddies 시뮬레이션(LES) 방정정식과 어떻게 연결되는지를 이론적 프레임워크로 수립하는 것.
• 필터링과 탈디컨볼루션을 통해 NS-$\alpha$ 모델이 일반화된 LES 유사 모델과 어떻게 관련되는지를 명확히 하는 것.
• 근사 역함수를 적용할 경우 NS-$\alpha$ 모델이 켈빈 순환정리를 어떻게 유지하는지를 보여주는 것.
• 삼중 상호작용(triad interactions)과 척도 분리 관점에서 NS-$\alpha$ 모델의 스펙트럼 행동을 분석하는 것.
• 나비에-스토크스 방정식에 비해 자유도 수와 계산 비용의 감소를 정량화하는 것.

제안 방법

• 켈빈 순환정리를 필터링하여 NS-$\alpha$ 모델을 유도하며, 길이 척도 $\alpha$에 의존하는 비선형 분산 항을 도입한다.
• 이 모델은 유도항을 포함한 추가적인 미분 기반의 소규모 스케일(SGS) 응력 항을 지닌 일반화된 LES 유사 모델로 해석된다.
• 탈디컨볼루션된 속도장에 대해 켈빈 순환정리를 복원하기 위해 근사 역함수 탈디컨볼루션 절차를 적용한다.
• 고파르 계수 모드에 대해 감쇠 인자 $1/(1 + \alpha^2 k^2)$ 를 적용한 후, 푸리에 변환을 사용하여 삼중 상호작용을 분석하는 스펙트럼 분석을 수행한다.
• 지역적 및 비국소적 삼중 상호작용을 기반으로 한 모델 행동을 분석하며, 난류 점성 유형과 스위핑 유형의 영향을 구분한다.
• 스펙트럼 기반 자유도 수와 분수 차원의 해석적 추정치를 $N_{\text{dof}}^{\alpha} \simeq (L/\alpha) \text{Re}^{3/2}$ 및 $D_{\text{frac}} \leq (N_{\text{dof}}^{\alpha})^{3/2}$ 를 사용하여 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 NS-$\alpha$ 모델은 표준 LES 유사 모델과 비교해 어떤 구조적 특성과 물리적 일관성을 지니는가?
• RQ2 일반화된 LES 모델 계열에 대해 근사 역함수를 적용할 경우 NS-$\alpha$ 모델의 켈빈 순환정리를 복원할 수 있는가?
• RQ3 대규모와 소규모 척도 사이의 삼중 상호작용 관점에서 NS-$\alpha$ 모델의 스펙트럼 행동은 어떠한가?
• RQ4 NS-$\alpha$ 모델은 소규모 자기상호작용을 어떻게 억제하면서도 대규모 스위핑 효과를 유지하는가?
• RQ5 나비에-스토크스 방정식에 비해 자유도 수와 계산 비용은 얼마나 감소하는가?

주요 결과

• NS-$\alpha$ 모델은 유도항을 포함한 추가적인 미분 기반 소규모 스케일(SGS) 응력 항을 지닌 일반화된 LES 유사 모델의 일종과 대응된다.
• 이 계열의 모델에 근사 역함수를 적용할 경우 탈디컨볼루션된 속도장에 대해 켈빈 순환정리가 복원되며, 이는 NS-$\alpha$ 모델이 기초 역학계로 작용함을 확인한다.
• NS-$\alpha$ 모델은 대규모가 소규모에 작용하는 비국소적 스위핑 효과를 유지하며, 이는 상호작용하는 모드 중 하나가 $k < 1/\alpha$이고 다른 하나는 $k \sim O(k)$ 인 경우에 해당한다.
• 모델은 소규모 척도($k > 1/\alpha$) 간의 지역적 삼중 상호작용과 양쪽 모드 $p, q > 1/\alpha$에서 발생하는 비국소적 난류 점성 유형의 상호작용을 억제하면서도 대규모 영향력을 유지한다.
• NS-$\alpha$ 모델의 자유도 수는 $N_{\text{dof}}^{\alpha} \simeq (L/\alpha) \text{Re}^{3/2}$ 로, 나비에-스토크스 값 $N_{\text{dof}}^{\text{NS}} \simeq \text{Re}^{9/4}$ 와 비교해 상당히 작으며, 고레이놀즈 수 조건에서 계산 속도 향상 비율이 약 $(\alpha/L)^{4/3} \text{Re}$ 수준이 된다.
• 모델은 갈릴레오 기준계 및 등속도로 회전하는 기준계에서 소규모 스케일 힘의 공변 변환을 보이며, 물리적 일관성을 유지한다.