[논문 리뷰] Navier-Stokes and stochastic Navier-Stokes equations via Lagrange multipliers

Ana Bela Cruzeiro|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 04.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 압력이 비압축성 조건을 강제하는 라그랑주 승수로 작용하는 확률적 변분 원리로부터 결정론적 및 확률적 나비에-스토크스 방정식을 유도한다. 유체 입자의 궤적을 드리프트 $ v $를 가진 확률적 확산 과정으로 모델링함으로써, 운동 에너지와 제약 조건 항을 포함하는 작용 함수의 임계점으로서 나비에-스토크스 방정식이 도출되며, 확률적 노이터 유형 정리에 의해 운동량 보존량이 식별된다.

ABSTRACT

We show that the Navier-Stokes as well as a random perturbation of this equation can be derived from a stochastic variational principle where the pressure is introduced as a Lagrange multiplier. Moreover we describe how to obtain corresponding constants of the motion.

연구 동기 및 목표

• d차원 토러스 위에서 결정론적 나비에-스토크스 방정식에 대한 확률적 변분 원리를 수립하기 위해.
• 점성 항 $ \nu\Delta v $가 체계적으로 도입된 확산 과정에서 유래되며, 경험적 소산성에 의해 가정된 것이 아니라고 해석하기 위해.
• 확률적 작용 함수의 임계점으로서 대응하는 확률적 나비에-스토크스 방정식을 유도하기 위해.
• 공간 평균 대칭을 사용한 일반화된 노이터 정리로 확률적 설정에서 보존량을 식별하기 위해.
• 아르니올드와 에빈-마르스덴의 접근 방식을 소산성 시스템으로 확장하여 기하학적 유체역학과 확률 과정을 통합하기 위해.

제안 방법

• 작용 함수 $ S(g,p) = S^1(g,p) + S^2(g,p) $ 의 임계점으로서 나비에-스토크스 방정식을 기술한다. 여기서 $ g_t(x) $ 는 드리프트 $ v $ 와 분산 계수 $ \sqrt{2\nu} $ 를 가진 확률적 확산 과정이다.
• 비압축성 조건 $ \det \nabla g_t(x) = 1 $ 을 강제하기 위해 압력 $ p $ 를 라그랑주 승수로 도입하며, 이는 항 $ \int p(t,g_t(x))(\det \nabla g_t(x) - 1) \, dtdx $ 로 표현된다.
• 경로 $ g_t $ 와 압력장 $ p $ 에 대해 작용 함수에 변분을 적용함으로써 오일러-라그랑주 방정식을 도출하고, 이는 나비에-스토크스 PDE 를 얻는다.
• 확률적 과정의 드리프트를 정의하기 위해 일반화된 미분 $ D_t $ 를 사용하며, $ D_t g_t(x) = v(t,g_t(x)) $ 이다. 이토의 공식을 적용하여 $ D_t v(t,g_t(x)) $ 를 계산한다.
• 확률적 작용 함수 $ \tilde{S}(\xi,p) $ 를 고려함으로써 확률적 나비에-스토크스 방정식을 도출한다. 이는 위너 과정 $ W_t $ 에 대한 확률적 적분을 포함하며, 스트라토노비치 유형의 SDE 로 이어진다.
• 공간에 대해 대칭 변위를 통합함으로써 확률적 노이터 정리를 적용하여, 보존량이 확률적 미분 연산자 $ \mathcal{L}_t = \partial_t + (v\cdot\nabla) + \nu\Delta $ 의 작용 하에서 마틴게일임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 압력이 라그랑주 승수로 작용하는 확률적 변분 원리로부터 결정론적 나비에-스토크스 방정식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 점성 항 $ \nu\Delta v $ 는 어떻게 경험적 소산성 대신 기저가 되는 확률적 확산 과정에서 유도되는가?
• RQ3 이토 및 스트라토노비치 적분을 포함하는 랜덤 작용 함수로부터 도출된 확률적 나비에-스토크스 방정식의 형태는 무엇인가?
• RQ4 확률적 설정에서 보존량은 어떻게 식별할 수 있으며, 고전적 노이터 불변량과는 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ5 공간 평균 대칭은 확률적 유체 흐름의 보존량을 도출하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 나비에-스토크스 방정식은 확률적 작용 함수의 임계점으로서 유도되며, 이때 압력은 확률적 흐름 $ g_t(x) $ 의 비압축성 조건을 강제하는 라그랑주 승수로 작용한다.
• 점성 항 $ \nu\Delta v $ 는 확률적 확산 과정 $ dg_t(x) = \sqrt{2\nu} dW_t + v(t,g_t(x)) dt $ 의 이토 보정 항에서 자연스럽게 유도되며, 사전에 소산성을 가정하지 않는다.
• 확률적 나비에-스토크스 방정식은 $ dv + (v\cdot\nabla)v \, dt = \sqrt{2\nu} \nabla v \circ dW_t \, dt - \nabla p \, dt $ 의 형태로 도출되며, 여기서 $ v $ 는 발산이 0인 벡터장이며, 스트라토노비치 형태이다.
• 보존량은 확률적 노이터 정리에 의해 식별된다: 라그랑지안이 대칭 $ \eta $ 에 대해 불변이라면, $ \int \mathcal{L}_t (v\eta - G) \, dx = 0 $ 이다. 여기서 $ \mathcal{L}_t $ 는 확률적 미분 연산자이다.
• 이 결과는 공간에 대해 통합함으로써 고전적 노이터 정리를 일반화하며, 보존량이 확률적 진화 하에서 마틴게일임을 보여준다.
• 이 방법은 [2] 에서 제시된 구성에 따라 일반 리만 다양체로도 확장 가능하므로, 평평한 토러스를 넘어서 광범위한 기하학적 적용 가능성을 시사한다.