[논문 리뷰] Navier-Stokes Equations for Low-Temperature One-Dimensional Fluids

Andrew Urichuk, Stefano Scopa외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 09. 25.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 100인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 상호작용이 있는 1차원 양자 유체에 대해 일반화된 유체역학(GHD)의 저온 근사를 취하여 저온에서의 보편적인 나비에-스토크스 유체역학 기술을 유도한다. 동적 점성도는 온도에 비례하며, 루팅거 액체 매개수 $K$와 압축성으로 보편적으로 기술되며, 영온도에서도 유한한 점성을 유지함으로써 충격파를 정규화하고, 비가역성 유체역학이 무간섭 1차원 시스템에서 타당함을 입증한다.

ABSTRACT

We consider one-dimensional interacting quantum fluids, such as the Lieb-Liniger gas. By computing the low-temperature limit of its (generalised) hydrodynamics we show how in this limit the gas is well described by a conventional viscous (Navier-Stokes) hydrodynamics for density, fluid velocity and the local temperature, and the other generalised temperatures in the case of integrable gases. The dynamic viscosity is proportional to temperature and can be expressed in a universal form only in terms of the emergent Luttinger Liquid parameter $K$ and its density. We show that the heating factor is finite even in the zero temperature limit, which implies that viscous contribution remains relevant also at zero temperatures. Moreover, we find that in the semi-classical limit of small couplings, kinematic viscosity diverges, reconciling with previous observations of Kardar-Parisi-Zhang fluctuations in mean-field quantum fluids.

연구 동기 및 목표

• 상호작용이 있는 1차원 양자 유체(예: 리브-린이거 기체)에 대한 저온 유체역학 기술을 유도하는 것.
• 일반화된 유체역학(GHD)이 저온 근사에서 점성(나비에-스토크스) 유체역학으로 어떻게 기인하는지 확인하는 것.
• 루팅거 액체 매개수 $K$와 압축성으로 표현되는 동적 점성의 보편적 표현을 수립하는 것.
• 특히 충격파 정규화 문제를 고려하여 영온도 근사에서 점성과 열화학적 평형의 거동을 조사하는 것.
• 반고전적 근사에서 운동점성도의 발산과 평균장 양자 유체에서의 카르다르-파리지-존슨(KPZ) 변동 간의 모순을 해소하는 것.

제안 방법

• 상호작용이 있는 리브-린이거 모델에 대해 일반화된 유체역학(GHD)의 저온 근사를 취하는 것.
• 빠르기 분포에 대한 적분을 통해 효과적인 점성을 계산하고, 확산 커널의 무한상수 근사에서 산란 보정을 추출하는 것.
• 루팅거 액체 매개수 $K$와 압축성으로 동적 점성을 보편적으로 표현하여 미세한 구조적 세부사항과 무관하게 기술하는 것.
• $c \to \rho$ 근사와 $T \to 0$ 근사에서 점성의 거동를 분석하여, 영온도에서도 점성이 유한하게 유지됨을 보이는 것.
• 유체장의 공간 도함수와 저온 근사를 동시에 적용하여, 저온 근사와 공간 도함수가 교환 가능함을 보이는 것.
• 빠르기 변수에 대한 적분을 평가함으로써, $ heta$, $ heta^2/2$, 그리고 확산 커널을 포함하는 점성 보정 항을 도출하는 것.

Figure 1: Evolution of the excess density $\delta\rho=\rho-\rho_{\infty}$ for an initial bump obtained as the ground state density of ( 1 ) with interaction $c=1$ and Gaussian potential $V(x)=-\mu-A\exp(-x^{2}/\sigma^{2})$ , released at $t>0$ ; here $\sigma=1$ , $A$ and $\mu$ are set such that the b

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원 양자 유체에서 일반화된 유체역학(GHD)이 저온 근사에서 점성 유체역학(나비에-스토크스)으로 기인하는가?
• RQ2 저온 1차원 양자 유체에서 동적 점성의 보편적 형태는 무엇이며, 루팅거 액체 매개수 $K$에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 영온도에서 점성 기여가 유한한가? 그리고 무간섭 조건에서 충격파를 정규화하는가?
• RQ4 반고전적 근사에서 운동점성도는 어떻게 행동하는가? 그리고 KPZ 유형의 변동과 일치하는가?
• RQ5 GHD의 유체장에 대한 공간 도함수에 대해 저온 근사를 일관적으로 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 동적 점성도는 온도에 비례하며, $\mu(\rho,T) = \frac{4T}{\pi c^2}\rho$로 보편적으로 표현되며, $K$와 압축성에만 의존한다.
• 영온도 근사에서도 점성이 유한하게 유지되며, 이는 점성 효과가 비중미적인 영향을 미치고 충격파 정규화에 필수적임을 시사한다.
• 저온 근사와 공간 도함수가 교환 가능하므로, 유체역학 기술이 일관성을 유지한다.
• 반고전적 근사($c \gg 1$)에서 운동점성도는 발산하며, 평균장 양자 유체에서의 KPZ 유형 변동과 일치하는 이전 관측 결과를 뒷받침한다.
• GHD에서 도출된 점성 유체역학 방정식은 기존의 오일러 유체역학에서 발생할 수 있는 충격파를 완전히 정규화하며, 저온 무간섭 시스템에 대해 점성 CHD가 타당한 기술임을 보여준다.
• 유도 과정은 나비에-스토크스 방정식이 저온 1차원 유체에 대해 정확한 유체역학 기술임을 확인하며, 점성이 저온 다체 양자역학적 효과에서 기인함을 입증한다.