[논문 리뷰] Navigating in the Cayley graphs of SL_N(Z) and SL_N(F_p)

Tim Riley|arXiv (Cornell University)|2005. 04. 06.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$ 및 $ mathrm{SL}_N(\mathbb{F}_p)$의 원소를 원소 행렬 $e_{ij}$ ($i \neq j$)의 단어로 표현하는 비결정성 알고리즘을 제시한다. 이 단어의 길이는 행렬 노름의 로그에 비례하는 상수 배 이내로 제한된다. 이는 압축된 뺄셈 유클리드 알고리즘을 통해 달성되며, $ mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$의 단어 거리가 $ log\|\mathcal{M}\|$와 비리프시츠 등가임을 구축적으로 증명하고, $ mathrm{SL}_N(\mathbb{F}_p)$의 카일리 그래프의 지름에 대해 $KN^2\log p$의 상한을 설정한다. 이는 전연수 $K$에 대해 성립한다.

ABSTRACT

We give a non-deterministic algorithm that expresses elements of SL_N(Z), for N > 2, as words in a finite set of generators, with the length of these words at most a constant times the word metric. We show that the non-deterministic time-complexity of the subtractive version of Euclid's algorithm for finding the greatest common divisor of N > 2 integers a_1,..., a_N is at most a constant times N log n where n := max {|a_1|,..., |a_N|}. This leads to an elementary proof that for N > 2 the word metric in SL_N(Z) is biLipschitz equivalent to the logarithm of the matrix norm -- an instance of a theorem of Mozes, Lubotzky and Raghunathan. And we show constructively that there exists K>0 such that for all N > 2 and primes p, the diameter of the Cayley graph of SL_N(F_p) with respect to the generating set {e_{ij} \mid i eq j} is at most K N^2 \log p.

연구 동기 및 목표

• 3 이상의 $N$에 대해 원소 행렬 생성자를 사용하여 $\mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$에 대한 효과적이고 구축적인 표준형을 개발한다.
• 3 이상의 정수 $N$에 대해 최대공약수를 계산하는 비결정성 알고리즘을 개발하고, 시간 복잡도를 상한으로 제한한다.
• 모즈, 루보츠키, 라그나단탄의 결과를 개선하여, $ mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$의 단어 거리가 $ log\|\mathcal{M}\|$와 비리프시츠 등가임을 증명한다.
• 원소 행렬 생성 집합에 대해 $ mathrm{SL}_N(\mathbb{F}_p)$의 카일리 그래프 지름에 대한 구축적 상한을 제공한다.
• 표준형의 기하학적 복잡도를 다루기 위해, 비록 이방식으로도 동행할 수 없음을 보인다.

제안 방법

• 피보나치 기반 압축 기법을 사용하여 $e_{ij}^m$을 $O(\log(1+|m|))$개의 원소 행렬 곱으로 표현한다.
• 이 압축 기법을 $N \geq 3$ 정수에 대한 비결정성 뺄셈 유클리드 알고리즘의 반복 덧셈 또는 뺄셈을 가속화하는 데 적용한다.
• 행 연산을 사용하여 $ mathcal{M} \in \mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$를 항등행렬로 감소시키며, 열을 정수의 $N$-튜플로 간주한다.
• 압축된 유클리드 알고리즘을 활용해 $ mathcal{M}$의 열을 $O(N\log n)$ 단계 내에 표준 기저 벡터로 감소시킨다. 여기서 $n = \max|a_i|$이다.
• $\mathbb{F}_p$ 위에서 감소된 행렬을 상삼각행렬 형태로 변환한 후, 각 상부 대각성분을 $O(\log p)$회의 연산으로 제거한다. 이는 압축 기법을 사용하여 수행된다.
• 통제된 원소 행렬의 순서를 적용하여 $ mathbb{F}_p$ 위의 대각행렬을 항등행렬로 감소시키며, 각 행 쌍에 대해 $O(\log p)$회의 연산을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3 이상의 정수 $N$에 대해 뺄셈 유클리드 알고리즘의 비결정성 시간 복잡도는 얼마이며, 입력 크기와 무관하게 상한을 가질 수 있는가?
• RQ2 명시적인 알고리즘을 사용하여 $ mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$의 단어 거리가 $ log\|\mathcal{M}\|$와 비리프시츠 등가임을 어떻게 보일 수 있는가?
• RQ3 원소 행렬 생성 집합 $\{e_{ij} \mid i \neq j\}$에 대해 $ mathrm{SL}_N(\mathbb{F}_p)$의 카일리 그래프 지름은 얼마인가?
• RQ4 표준형이 최단 단어 길이에 대해 선형적으로 유계일 수 있는, $ mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$에 대한 구축적 표준형을 설계할 수 있는가?
• RQ5 이러한 표준형이 동기적 또는 异기적으로 동행할 수 있는가?

주요 결과

• 3 이상의 정수 $N$에 대해 뺄셈 유클리드 알고리즘의 비결정성 시간 복잡도는 $O(N\log n)$이며, 여기서 $n = \max\{|a_1|, \ldots, |a_N|\}$이며, 이는 $N$과 $n$에 관계없이 일관된 상수에 의해 결정된다.
• 표준 기저를 사용하여 $ mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$에 대한 구축적 표준형을 확보하였으며, 이의 단어 길이는 $C_2 \log\|\mathcal{M}\|$ 이내이다. 여기서 $C_2 \leq C_3 N^N$이며, $C_3 > 0$은 전연수이다.
• 단어 거리 $ mathrm{SL}_N(\mathbb{Z})$는 $ log\|\mathcal{M}\|$와 비리프시츠 등가이며, $C_1, C_2 > 0$ 상수들이 존재하여 $C_1 \log\|\mathcal{M}\| \leq \ell(\mathcal{M}) \leq C_2 \log\|\mathcal{M}\|$를 만족한다.
• $\{e_{ij} \mid i \neq j\}$에 대해 $ mathrm{SL}_N(\mathbb{F}_p)$의 카일리 그래프 지름은 전연수 $K > 0$에 대해 $KN^2\log p$ 이내이다.
• 모든 원소 행렬 $e_{ij}$를 생성자 $ mathcal{A}_N^{\pm 1}, \mathcal{B}_N^{\pm 1}$의 단어로 표현할 때, 길이에 대해 명시적인 상한 $10N$을 확립하였다. 이 생성자들은 전체 원소 행렬 집합을 생성하는 데 사용된다.