[논문 리뷰] NC Algorithms for Weighted Planar Perfect Matching and Related Problems

Piotr Sankowski|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 22.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 31인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 다항수로 유계된 가중치와 용량을 가진 평면 그래프에서 최소 무게 완전 매칭, 최대 이분 매칭, 최소 f-요소, 최소 비용 유량에 대한 첫 번째 NC 알고리즘을 제시한다. 평면성 유지 감소와 쌍대 구축 기법을 통해 효율적인 병렬 계산을 가능하게 하는, 대수적 서브루틴을 활용하는 새로운 조합적 프레임워크를 도입한다.

ABSTRACT

Consider a planar graph G=(V,E) with polynomially bounded edge weight function w:E -> [0, poly(n)]. The main results of this paper are NC algorithms for finding minimum weight perfect matching in G. In order to solve this problems we develop a new relatively simple but versatile framework that is combinatorial in spirit. It handles the combinatorial structure of matchings directly and needs to only know weights of appropriately defined matchings from algebraic subroutines. Moreover, using novel planarity preserving reductions, we show how to find: maximum weight matching in G when G is bipartite; maximum multiple-source multiple-sink flow in G where c:E -> [1, poly(n)] is a polynomially bounded edge capacity function; minimum weight f-factor in G where f:V -> [1, poly(n)]; min-cost flow in G where c:E -> [1, poly(n)] is a polynomially bounded edge capacity function and b:V -> [1, poly(n)] is a polynomially bounded vertex demand function. There have been no known NC algorithms for these problems previously.

연구 동기 및 목표

• 다항수로 유계된 간선 가중치를 가진 평면 그래프에서 최소 무게 완전 매칭에 대한 첫 번째 NC 알고리즘을 개발한다.
• 프레임워크를 확장하여 평면 그래프에서 최대 카디널리티 및 최대 무게 이분 매칭 문제를 해결한다.
• f-요소 문제에 대해 평면성 유지 감소를 제공함으로써, 평면 그래프에서 최소 f-요소의 NC 계산을 가능하게 한다.
• 용량과 수요가 다항수로 유계된 평면 그래프에서 최소 비용 유량 문제에 대한 오랫동안 열려 있던 열린 문제를 해결한다.
• 크기 유지 감소를 통해 비이분 매칭과 최대 이분 매칭 간의 연결을 수립한다.

제안 방법

• 균형 이중값의 개념을 활용하여 이중 해를 구성하는 조합적 프레임워크를 개발함으로써 고유한 이중 구축을 가능하게 한다.
• Kasteleyn의 Pfaffian 방향과 대수적 기법을 사용하여 평면 그래프에서 최소 완전 매칭의 무게를 계산한다.
• f-요소 문제를 평면 그래프에서의 완전 매칭 문제로 감소시키기 위해 평면성 유지 정점 분할 기법(˜Gd,f)을 도입한다.
• 최대 이분 매칭 문제를 2-요소 계산으로 감소시키기 위해 간선을 복제하고, 무게 0인 순환 고리(자기순환)를 추가하여 다중 그래프 G′을 구성한다.
• 짝수 사이클과 복제된 간선에 대해 병렬 간선 제거 규칙을 적용하여 2-요소에서 최대 매칭을 추출한다.
• 무게 부정( w′(e) = −w(e) + max w(f) )을 사용하여 최대 f-요소 문제를 최소 f-요소 문제로 변환한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 매칭으로부터 평면성 유지 감소가 없는 상황에서, 다항수로 유계된 간선 가중치를 가진 평면 그래프에서 최소 무게 완전 매칭을 NC로 해결할 수 있는가?
• RQ2 최대 이분 매칭 문제를 평면성과 그래프 크기를 유지하면서 비이분 완전 매칭 문제로 감소시킬 수 있는가?
• RQ3 f-요소 문제를 평면성 유지 감소를 통해 평면 그래프에서 NC로 해결할 수 있는가?
• RQ4 이 프레임워크는 다항수로 유계된 용량과 수요를 가진 평면 그래프에서 최소 비용 유량 문제로 확장 가능한가?
• RQ5 최대 매칭 문제에 대해 제안된 방법이 평면 그래프에서 O(n) 시간 복잡도를 초과할 수 있는가?

주요 결과

• 이 논문은 다항수로 유계된 간선 가중치를 가진 평면 그래프에서 최소 무게 완전 매칭에 대한 첫 번째 NC 알고리즘을 제시한다.
• 비이분 완전 매칭으로의 크기 유지 감소를 통해, 평면 그래프에서 최대 카디널리티 및 최대 무게 이분 매칭에 대한 첫 번째 NC 알고리즘을 확립한다.
• f-요소 문제에 대해 평면성 유지 감소를 개발하여, 평면 그래프에서 최소 f-요소의 NC 계산을 가능하게 한다.
• 용량과 수요가 다항수로 유계된 평면 그래프에서 최소 비용 유량 문제에 대한 오랫동안 열려 있던 열린 문제를 해결하며, 첫 번째 NC 알고리즘을 제공한다.
• 최소 비용 유량 결과의 확장에 의해, 다중 소스 다중 싱크 유량 문제에 대한 최대 유량 계산도 지원한다.
• 정점 분할 후 생성된 그래프는 O(n³)개의 정점을 가지지만, 차수를 3으로 감소시킴으로써 크기가 O(n)으로 유지되어 효율성이 보존된다.