[논문 리뷰] Near-Optimal Deterministic Single-Source Distance Sensitivity Oracles

Davide Bilò, Sarel Cohen외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 22인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 정수 간선 가중치가 [1, M] 범위에 속하는 그래프에 대해, O(M^{1/2}n^{3/2}) 공간과 Õ(1) 쿼리 시간을 달성하는 최초의 결정적, 거의 최적의 단일 소스 거리 민감도 오라클(DSO)을 제안한다. 기존의 랜덤화된 SSRP 알고리즘을 조합 및 대수 기법을 사용해 비확률적으로 전환함으로써, 최적의 공간 범위를 유지하면서도 전처리 시간을 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

Given a graph with a source vertex $s$, the Single Source Replacement Paths (SSRP) problem is to compute, for every vertex $t$ and edge $e$, the length $d(s,t,e)$ of a shortest path from $s$ to $t$ that avoids $e$. A Single-Source Distance Sensitivity Oracle (Single-Source DSO) is a data structure that answers queries of the form $(t,e)$ by returning the distance $d(s,t,e)$. We show how to deterministically compress the output of the SSRP problem on $n$-vertex, $m$-edge graphs with integer edge weights in the range $[1,M]$ into a Single-Source DSO of size $O(M^{1/2}n^{3/2})$ with query time $\widetilde{O}(1)$. The space requirement is optimal (up to the word size) and our techniques can also handle vertex failures. Chechik and Cohen [SODA 2019] presented a combinatorial, randomized $\widetilde{O}(m\sqrt{n}+n^2)$ time SSRP algorithm for undirected and unweighted graphs. Grandoni and Vassilevska Williams [FOCS 2012, TALG 2020] gave an algebraic, randomized $\widetilde{O}(Mn^ω)$ time SSRP algorithm for graphs with integer edge weights in the range $[1,M]$, where $ω<2.373$ is the matrix multiplication exponent. We derandomize both algorithms for undirected graphs in the same asymptotic running time and apply our compression to obtain deterministic Single-Source DSOs. The $\widetilde{O}(m\sqrt{n}+n^2)$ and $\widetilde{O}(Mn^ω)$ preprocessing times are polynomial improvements over previous $o(n^2)$-space oracles. On sparse graphs with $m=O(n^{5/4-\varepsilon}/M^{7/4})$ edges, for any constant $\varepsilon > 0$, we reduce the preprocessing to randomized $\widetilde{O}(M^{7/8}m^{1/2}n^{11/8})=O(n^{2-\varepsilon/2})$ time. This is the first truly subquadratic time algorithm for building Single-Source DSOs on sparse graphs.

연구 동기 및 목표

• 정수 간선 가중치를 가진 그래프에 대해 결정적이고 공간 효율적인 단일 소스 거리 민감도 오라클(DSO)을 개발하는 것.
• O(M^{1/2}n^{3/2})의 거의 최적의 공간 복잡도를 달성하면서도 Õ(1)의 쿼리 시간을 유지하는 것.
• 특히 무가중치 및 가중치가 있는 그래프에서, 동일한 점근적 실행 시간을 유지하면서 기존의 랜덤화된 SSRP 알고리즘을 비확률적으로 전환하는 것.
• 희박한 그래프에서 특히 o(n²)-공간 오라클의 전처리 시간을 향상시키는 것.
• 오라클을 경로 보고 기능을 지원하도록 확장하여, 약간 증가된 공간을 감수하면서도 상수 시간 쿼리 시간을 달성하는 것.

제안 방법

• 무가중치 그래프에 대한 Chechik과 Cohen의 랜덤화된 eO(m√n + n²) 조합적 SSRP 알고리즘을 확률적 방법과 피벗 기반 경로 재구성 기법을 사용해 비확률적으로 전환하는 것.
• 경로 대체 거리 계산을 하위 간선 구간에서 효율적으로 수행하기 위해 범위 최소값 질의(RMQ) 데이터 구조를 적용하는 것.
• 높은 확률 집중 한계를 활용하여, 실패한 간선을 피하는 대체 경로를 확률적으로 보장하는 데에 랜덤 피벗을 사용하는 것.
• 동적 경계 ∆[a,b]와 δ[a,b]를 가진 간선 구간 [a,b]에 대해 재귀적 탐색을 수행하여 최소 대체 거리 쌍 (dℓ, e∗ℓ)을 찾는 것.
• 구간 내에서 이진 탐색을 수행하여, 최소 대체 거리를 유도하는 간선을 찾고, w.h.p. 정확성을 보장하는 것.
• 구조적 인덱싱과 피벗 기반 경로 표현을 통해 SSRP 출력를 압축하여 효율적인 쿼리 해결이 가능한 압축 오라클을 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무가중치 그래프에 대한 랜덤화된 eO(m√n + n²) 조합적 SSRP 알고리즘을 동일한 점근적 실행 시간으로 비확률적으로 전환할 수 있는가?
• RQ2 가중치가 있는 그래프에 대한 대수적 eO(Mn^ω) SSRP 알고리즘을 전처리 효율성을 유지하면서 비확률적으로 전환할 수 있는가?
• RQ3 O(M^{1/2}n^{3/2})의 거의 최적의 공간과 Õ(1)의 쿼리 시간을 가지는 결정적 단일 소스 DSO를 구성하는 것이 가능한가?
• RQ4 m = O(n^{5/4−ε} M^{7/4}) 간선을 가진 희박한 그래프에서, 전처리 시간을 O(n²) 이하로 줄일 수 있는가?
• RQ5 전처리 시간을 O(n²) 이하로 유지하면서도 쿼리 시간을 O(1)로 줄일 수 있는가, 동시에 부분정사각형 전처리와 거의 최적의 공간 복잡도를 유지하는가?

주요 결과

• 논문은 O(M^{1/2}n^{3/2}) 공간과 Õ(1) 쿼리 시간을 가지는 결정적 단일 소스 DSO를 제시하며, 다항로그 계수 요소를 제외하고 공간 하한선과 정확히 일치한다.
• 조합적 DSO의 전처리 시간은 eO(m√n + n²)이며, 이는 이전의 o(n²)-공간 오라클보다 √n 요소만큼 향상되었다.
• 가중치가 있는 그래프의 경우, 대수적 비확률화로 eO(Mn^ω)의 전처리 시간을 달성하였으며, 이는 이전의 o(n²)-공간 오라클보다 다항식 요소로 향상되었다.
• 오라클의 변종은 공간을 O(M^{1/3}n^{5/3})로 증가시켜 O(1) 쿼리 시간을 달성할 수 있다.
• m = O(n^{5/4−ε} M^{7/4}) 간선을 가진 희박한 그래프에서 전처리 시간은 eO(M^{7/8} m^{1/2} n^{11/8}) = O(n^{2−ε/2})로 감소하였으며, 이러한 오라클에 대해 처음으로 진정으로 부분정사각형 알고리즘이다.
• 모든 오라클는 실제 대체 경로를 반환하는 경로 보고 기능을 지원하도록 만들 수 있다.