[논문 리뷰] Nearly locally presentable categories

Leonid Positselski, Jir̆ı́ Rosický|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 28.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 현존하는 범주의 일반화인 거의 국소적으로 현존하는 범주를 소개한다. 이는 현존성 조건을 약화시켜 크기가 λ 미만인 하위합성의 형태로 형성된 특수 λ-방향 체계에 초점을 맞춘다. 주요 기여는 일반적으로 거의 국소적으로 현존하는 범주는 국소적으로 현존하는 것보다 엄밀히 약한 반면, 아벨 범주에서는 국소적으로 현존하는 범주와 일치한다는 점이다. 또한 완전 부분순서집합(CPO)의 범주는 집합론적으로 독립적인 자연스러운 예시로서 거의 국소적으로 유한히 현존하는 범주이지만 국소적으로 현존하지는 않으며, 도메인 이론과 이론적 컴퓨터 과학에서 그 중요성을 입증한다.

ABSTRACT

We introduce a new class of categories generalizing locally presentable ones. The distinction does not manifest in the abelian case and, assuming Vopenka's principle, the same happens in the regular case. The category of complete partial orders is the natural example of a nearly locally finitely presentable category which is not locally presentable.

연구 동기 및 목표

• 특수 λ-방향 체계를 사용한 거의 λ-현존하는 객체를 도입함으로써 국소적 현존성의 개념을 일반화한다.
• 거의 국소적으로 λ-현존하는 범주는 거의 λ-현존하는 객체의 강한 생성자와 각 객체에 대해 유한한 수의 강한 몫만을 갖는 완비 범주로 정의한다.
• 거의 국소적으로 현존하는 범주와 국소적으로 현존하는 범주 간의 관계를 연구하며, 특히 보페니카의 원리와 같은 집합론적 가정 하에서의 성격을 분석한다.
• 예를 들어 완전 부분순서집합(CPO)의 범주처럼 국소적으로 현존하지는 않지만 거의 국소적으로 현존하는 자연스러운 예를 특정한다.
• 특히 정규 분해와 단사 사상이 존재하는 범주에서 거의 국소적으로 현존하는 범주가 국소적으로 현존하는 범주와 일치하는 조건을 설정한다.

제안 방법

• 특수 λ-방향 체계—크기가 λ 미만인 합성의 부분집합에 의해 인덱싱된 체계—를 보존하는 함자-함수를 갖는 객체를 거의 λ-현존하는 객체로 정의한다.
• 거의 국소적으로 λ-현존하는 범주는 거의 λ-현존하는 객체의 강한 생성자와 각 객체에 대해 유한한 수의 강한 몫만을 갖는 완비 범주로 정의한다.
• 많은 범주(예: 점이 있는 범주 또는 아벨 범주)에서 합성의 포함사상이 단사 사상임을 이용해 거의 현존하는 객체의 특성화를 단순화한다.
• 반사 부분범주 기법을 적용하여, 특수 λ-방향 체계를 보존하는 프레시프 범주의 전체 반사 부분범주는 거의 국소적으로 현존하는 범주임을 보여준다.
• 결핵적 부분범주와 보존 함수에 관한 [3] 및 [4]의 결과를 활용하여 닫힘성과 생성성 성질을 증명한다.
• 강한 에피모르피즘-단사 사상 분해를 사용하여 거의 현존성과 정규 분해 간의 관계를 규명하고, 체계의 안정성에 대해 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거의 국소적으로 현존하는 범주가 언제 국소적으로 현존하는 범주가 되는가?
• RQ2 집합론적 가정에 의존하지 않는 자연스러운 예로, 국소적으로 현존하지는 않지만 거의 국소적으로 현존하는 범주는 존재하는가?
• RQ3 단사 사상이 존재하는 범주에서 거의 현존하는 객체는 λ-현존하는 객체와 λ-생성된 객체와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 보페니카의 원리는 거의 국소적으로 현존하는 범주가 국소적으로 현존하는 범주가 되는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 거의 국소적으로 현존하는 범주는 특수 λ-방향 체계를 보존하는 프레시프 범주의 반사 부분범주로 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 완전 부분순서집합(CPO)의 범주는 거의 국소적으로 유한히 현존하지만 국소적으로 현존하지 않으며, 집합론적으로 독립적인 자연스러운 예로써 거의 국소적으로 현존하는 범주이지만 국소적으로 현존하지 않는 범주의 예를 제공한다.
• 아벨 범주에서는 거의 국소적으로 현존하는 모든 범주가 국소적으로 현존하는 범주이므로, 이 맥락에서는 차이가 사라진다.
• 보페니카의 원리 하에서 정규 분해를 갖는 거의 국소적으로 현존하는 범주는 국소적으로 현존하는 것으로 나타나며, 이러한 설정에서 동치성은 보페니카의 원리와 동치이다.
• 거의 현존하는 객체는 특히 합성의 포함사상이 단사 사상일 경우, λ-현존하는 객체와 λ-생성된 객체를 모두 일반화한다.
• 거의 국소적으로 λ-현존하는 범주의 클래스는 함자 범주의 취득에 대해 닫혀 있다: 만약 K가 거의 국소적으로 λ-현존하고 C가 작다면, KC는 거의 국소적으로 λ-현존한다.
• 거의 국소적으로 현존하는 범주에서 단사 사상은 특수 λ-방향 체계에 대해 안정적이며, 이는 핵심적인 구조적 성질이다.