[논문 리뷰] Nearly optimal separations between communication (or query) complexity and partitions

Robin Kothari|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 03.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 29인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 체트시트 프레임워크를 사용하여 의사결정적 통신 복잡도와 질의 복잡도가 분할 수 또는 하위입자 분할 복잡도의 로그보다 제곱근만큼 더 큰 함수를 구성함으로써, 통신/질의 복잡도와 분할 측정치 사이의 거의 최적의 분리 결과를 확립한다. 이는 의사결정적 통신 복잡도와 log-분할 수 사이의 거의 제곱근 분리, 그리고 양자 질의 복잡도와 하위입자 분할 복잡도 사이의 거의 제곱근 분리를 달성하여 복잡도 이론에서 오랫동안 열려있던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We show a nearly quadratic separation between deterministic communication complexity and the logarithm of the partition number, which is essentially optimal. This improves upon a recent power 1.5 separation of Göös, Pitassi, and Watson (FOCS 2015). In query complexity, we establish a nearly quadratic separation between deterministic (and even randomized) query complexity and subcube partition complexity, which is also essentially optimal. We also establish a nearly power 1.5 separation between quantum query complexity and subcube partition complexity, the first superlinear separation between the two measures. Lastly, we show a quadratic separation between quantum query complexity and one-sided subcube partition complexity. Our query complexity separations use the recent cheat sheet framework of Aaronson, Ben-David, and the author. Our query functions are built up in stages by alternating function composition with the cheat sheet construction. The communication complexity separation follows from lifting the query separation to communication complexity.

연구 동기 및 목표

• 수십 년 동안 열려있던 의사결정적 통신 복잡도와 분할 수의 로그 사이의 격차를 좁히기 위해.
• Göös 등이 이전에 확립한 1.5 제곱 분리 결과를 초월하여 질의 복잡도와 하위입자 분할 복잡도 사이의 분리를 향상시키기 위해.
• 양자 질의 복잡도와 하위입자 분할 복잡도 사이의 첫 번째 초선형 분리를 확립하기 위해.
• 분할 수에 대한 의사결정적 통신 복잡도의 상한 O(log²χ(F)) 가 본질적으로 최적임을 보여주기 위해.
• 하위입자 분할 복잡도에 대한 의사결정적 및 난수 질의 복잡도의 제곱 상한이 사실상 최적임을 입증하기 위해.

제안 방법

• Aaronson, Ben-David, 및 저자의 체트시트 프레임워크를 사용하여, AND 함수와 'bk-sum' 함수를 조합하고 체트시트 변환을 적용함으로써 반복적으로 질의 함수를 구성한다.
• 함수는 귀납적으로 구성된다: f₁ = ANDₙ ∘ Bkk_CS, 그리고 fₖ = ANDₙ ∘ (bk-sumₙ ∘ fₖ₋₁)_{CS}이며, 입력 크기는 O(n²⁵ᵏ)로 증가한다.
• 양자 질의 복잡도는 애드버서리 방법을 사용하여 하한을 구하며, 체트시트와 조합의 구조를 활용해 복잡도를 제곱근만큼 증폭시킨다.
• 통신 복잡도의 분리는 레이징 정리에 의해 질의 함수의 분리를 업컨버팅하여 복잡도 격차를 유지한다.
• 핵심 복잡도 측정치를 추적한다: 양자 질의 복잡도 Q(fₖ), 인증서 복잡도 C₀(fₖ), C₁(fₖ), 하위입자 분할 복잡도 UC(fₖ)이며, UC(fₖ) = Õ(nᵏ⁺¹) 및 Q(fₖ) = Õ(n¹.⁵ᵏ⁺¹)임을 보여준다.
• 귀납적 증명을 통해 양자 질의 복잡도가 Õ(n¹.⁵ᵏ⁺¹)로 증가하고, 하위입자 분할 복잡도가 Õ(nᵏ⁺¹)로 증가함을 입증하여 거의 제곱근 분리를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 의사결정적 통신 복잡도와 분할 수의 로그 사이의 격차를 거의 제곱근 수준으로 만들 수 있는가? 이는 O(log²χ(F)) 의 이론적 상한에 근접한다.
• RQ2 하위입자 분할 복잡도에 대한 의사결정적 질의 복잡도의 상한 O(UC(f)²) 가 본질적으로 최적인가?
• RQ3 양자 질의 복잡도와 하위입자 분할 복잡도 사이에 초선형 분리를 확립할 수 있는가?
• RQ4 양자 질의 복잡도와 한쪽 방향 하위입자 분할 복잡도 사이의 가장 날카로운 분리는 무엇인가?
• RQ5 체트시트 프레임워크를 사용하여 여러 복잡도 측정치에 대해 거의 최적의 분리를 도출할 수 있는 함수를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 D^cc(F) ≥ (log χ(F))²⁻ᵒ⁽¹⁾ 를 만족하는 함수 F 를 구성하여, O(log²χ(F)) 의 상한이 본질적으로 최적임을 보였다.
• 의사결정적 질의 복잡도와 하위입자 분할 복잡도 사이의 거의 제곱근 분리를 달성: D(f) ≥ UC(f)²⁻ᵒ⁽¹⁾.
• 양자 질의 복잡도와 하위입자 분할 복잡도 사이의 거의 1.5 제곱 분리를 확립하였으며, 이는 이 두 측정치 사이의 첫 번째 초선형 분리이다.
• 양자 질의 복잡도와 한쪽 방향 하위입자 분할 복잡도 사이에 제곱 분리를 보였다.
• 반복적 함수 조합과 체트시트 변환을 사용하여 여러 측정치에 걸쳐 복잡도 격차를 증폭시켰다.
• 기존의 분할 측정치에 대한 통신 및 질의 복잡도 상한이 사실상 최적임을 확인하여 오랫동안 열려있던 열린 문제들을 해결하였다.