[논문 리뷰] Nearly Sasakian geometry and $SU(2)$-structures

Beniamino Cappelletti–Montano, Giulia Dileo|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 03.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 거의 사사키안 다양체에 대한 체계적인 연구를 수행하여, 이들이 접촉 다양체임을 증명하고, 사사키안 또는 5차원 거의 사사키안 잎을 가진 통합 가능한 분포를 갖는다고 밝힌다. 또한 5차원 거의 사사키안 구조와 특수한 종류의 거의 하이포 $SU(2)$-구조 사이에 일대일 대응이 있음을 규명하며, 이러한 구조는 사사키-아인슈타인 구조로 변형될 수 있음을 보이고, 5차원에서 $SU(2)$-구조와 토르션 텐서를 평행화하는 표준 연결을 도입한다.

ABSTRACT

We carry on a systematic study of nearly Sasakian manifolds. We prove that any nearly Sasakian manifold admits two types of integrable distributions with totally geodesic leaves which are, respectively, Sasakian or $5$-dimensional nearly Sasakian manifolds. As a consequence, any nearly Sasakian manifold is a contact manifold. Focusing on the $5$-dimensional case, we prove that there exists a one-to-one correspondence between nearly Sasakian structures and a special class of nearly hypo $SU(2)$-structures. By deforming such a $SU(2)$-structure one obtains in fact a Sasaki-Einstein structure. Further we prove that both nearly Sasakian and Sasaki-Einstein $5$-manifolds are endowed with supplementary nearly cosymplectic structures. We show that there is a one-to-one correspondence between nearly cosymplectic structures and a special class of hypo $SU(2)$-structures which is again strictly related to Sasaki-Einstein structures. Furthermore, we study the orientable hypersurfaces of a nearly Kähler 6-manifold and, in the last part of the paper, we define canonical connections for nearly Sasakian manifolds, which play a role similar to the Gray connection in the context of nearly Kähler geometry. In dimension $5$ we determine a connection which parallelizes all the nearly Sasakian $SU(2)$-structure as well as the torsion tensor field. An analogous result holds also for Sasaki-Einstein structures.

연구 동기 및 목표

• 거의 사사키안 다양체와 그 기하학적 구조를 체계적으로 연구하기.
• 거의 사사키안 다양체가 통합 가능한 분포와 완전 지오데식 잎을 통해 접촉 다양체임을 증명하기.
• 5차원 거의 사사키안 구조와 특수한 종류의 거의 하이포 $SU(2)$-구조 사이의 일대일 대응을 증명하기.
• 이러한 $SU(2)$-구조를 변형하면 사사키-아인슈타인 구조가 얻어진다는 것을 보여주기.
• 거의 사사키안 다양체에 대해 $SU(2)$-구조와 토르션 텐서를 평행화하는 표준 연결을 정의하고 특성화하기.

제안 방법

• 논문은 비-사사키안성을 측정하기 위해 텐서장 $ h = -\nabla_\rho - \phi $ 를 사용하고, 그 고유값과 고유분포를 분석한다.
• 접선다양체가 $ h^2 $의 고유분포로 직교 분해됨을 증명하며, 고유값이 $ 0, -\lambda_1^2, \dots, -\lambda_r^2 $ 임을 보이고, 이는 통합 가능하고 완전 지오데식 분할을 이끈다.
• 저자들은 $SU(2)$-구조 $ (\eta, \omega_1, \omega_2, \omega_3) $ 를 통해 5차원 거의 사사키안 구조와 거의 하이포 $SU(2)$-구조 사이의 일대일 대응를 수립한다.
• 토르션 텐서 $ H $ 를 사용하여 표준 연결 $ \bar{\nabla} $ 를 정의하며, $ \eta $, $ \phi $, $ h $, 그리고 계량을 포함하는 구성요소를 통해 $ SU(2) $-구조를 평행화한다.
• 특정 계량의 등각 변형을 통해 거의 하이포 $SU(2)$-구조가 사사키-아인슈타인 구조로 변형됨을 달성한다.
• 표준 연결이 $ SU(2) $-구조와 토르션 텐서를 모두 유지함을 보이며, 특히 $ r = \frac{1}{2} $ 일 때 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거의 사사키안 다양체는 $SU(2)$-구조를 통해 어떻게 사사키안 및 사사키-아인슈타인 구조와 관련이 있는가?
• RQ2 텐서장 $ h $ 는 거의 사사키안 다양체의 기하학적 분해를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 거의 사사키안 다양체에 대해 $SU(2)$-구조와 토르션 텐서를 평행화하는 표준 연결을 정의할 수 있는가?
• RQ4 5차원 거의 사사키안 구조와 특수한 종류의 거의 하이포 $ SU(2) $-구조 사이에 일대일 대응이 존재하는가?
• RQ5 거의 하이포 $ SU(2) $-구조의 변형이 어떻게 사사키-아인슈타인 구조로 이어지는가?

주요 결과

• 모든 거의 사사키안 다양체는 $ h^2 $ 의 고유분포로 직교 분해된 접선다양체를 가지며, 고유값이 $ 0, -\lambda_1^2, \dots, -\lambda_r^2 $ 이고, 이는 통합 가능하고 완전 지오데식 분할을 이끈다.
• 분포 $ \mathcal{D}(0) $ 는 통합 가능하며, 그 잎들은 차원 $ 2p+1 $ 인 사사키안 다양체이며, $ p > 0 $ 이면 비자명한 사사키안 구조를 가진다.
• 각 분포 $ [\xi] \oplus \mathcal{D}(-\lambda_i^2) $ 는 통합 가능하며, 5차원 거의 사사키안 비-사사키안 잎을 가진 완전 지오데식 분할을 정의한다.
• 분할 $ [\xi] \oplus \mathcal{D}(-\lambda_1^2) \oplus \cdots \oplus \mathcal{D}(-\lambda_r^2) $ 의 잎공간은 $ p > 0 $ 일 때 카이러 구조를 가지며, 이는 카이러 축소를 수립한다.
• 5차원 거의 사사키안 구조와 특수한 종류의 거의 하이포 $ SU(2) $-구조 사이에 일대일 대응이 존재하며, 이들은 사사키-아인슈타인 구조로 변형될 수 있다.
• 5차원에서 $ SU(2) $-구조와 토르션 텐서를 모두 평행화하는 표준 연결 $ \bar{\nabla} $ 가 존재하며, 특히 $ r = \frac{1}{2} $ 일 때 성립하며, 사사키안 구조의 옥ุม라 연결과 일치한다.