[논문 리뷰] Necessary And Sufficient Conditions For Existence of the LU Factorization of an Arbitrary Matrix

Pavel Okunev, Charles R. Johnson|ArXiv.org|2005. 06. 19.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 3인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 체 위의 임의의 정사각행렬에 대한 LU 분해가 존재하는 데 필요한 필수 조건과 충분 조건을 규명하며, 비가역 행렬으로까지 일반화된 가우스 소거법을 제시한다. 행렬이 LU 분해를 가질 수 있음이 모든 $k = 1,\dots,n$ 에 대해, 주어진 $k \times k$ 선형 주행렬에 대해 $ ext{rank}(A[1..k]) + k \geq \text{rank}(A[1..k,1..n]) + \text{rank}(A[1..n,1..k])$ 를 만족할 때이고, 그 조건이 유일하게 성립함을 증명한다. 이 결과는 구조적 알고리즘을 가능하게 하며, 기존 LU 분해가 실패할 경우 거의-LU 분해로 확장된다.

ABSTRACT

If $A$ is an n-by-n matrix over a field $F$ ($A\in M_{n}(F)$), then $A$ is said to ``have an LU factorization'' if there exists a lower triangular matrix $L\in M_{n}(F)$ and an upper triangular matrix $U\in M_{n}(F)$ such that $$A=LU.$$ We give necessary and sufficient conditions for LU factorability of a matrix. Also simple algorithm for computing an LU factorization is given. It is an extension of the Gaussian elimination algorithm to the case of not necessarily invertible matrices. We consider possibilities to factors a matrix that does not have an LU factorization as the product of an ``almost lower triangular'' matrix and an ``almost upper triangular'' matrix. There are many ways to formalize what almost means. We consider some of them and derive necessary and sufficient conditions. Also simple algorithms for computing of an ``almost LU factorization'' are given.

연구 동기 및 목표

• 체 위의 임의의 정사각행렬이 LU 분해를 가질 수 있는 정확한 조건을 규명하는 것.
• 기본적인 LU 분해 알고리즘을 반드시 가역이 아니어야 하는 행렬로 확장하는 것.
• 랭크 조건에 기반한 구조적 알고리즘을 통해 LU 분해를 계산하는 것.
• 표준 LU 분해가 존재하지 않을 경우 '거의-LU' 분해를 체계적으로 정의하고 분석하는 것.
• LU 분해, 행렬 랭크, 기본 행 연산 간의 이론적이고 계산적인 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 블록 행렬 분할과 행렬 곱의 랭크 부등식을 사용하여 LU 분해에 필요한 랭크 조건을 유도한다.
• 행렬 크기의 귀납법을 통해 충분성을 증명하며, L과 U를 블록 단위로 구성한다.
• 문제를 더 작은 LU 분해로 줄이기 위해 '요소 보완 행렬' $B = A_{22} - L_{21}U_{12}$ 을 정의한다.
• L과 U 행렬을 재귀적으로 구성함으로써 하삼각 및 상삼각 행렬의 구조를 유지한다.
• 표준 LU 분해가 실패할 경우 랭크 결손 근사값을 사용해 '거의-LU' 분해를 도입한다.
• 기본 행 연산을 통해 순열 행렬과 삼각 행렬 분해 간의 연결 고리를 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체 위의 임의의 정사각행렬이 LU 분해를 가질 수 있는 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 비가역인 행렬로까지 일반화된 표준 가우스 소거법 과정은 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ3 행렬 $A$ 가 특이행렬이거나 랭크 결손일 경우, 언제 $A = LU$ 로 분해될 수 있는가?
• RQ4 표준 LU 분해가 실패할 경우 어떤 대체 분해가 존재하며, 어떻게 체계적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 부동소수점 산술에서의 변동에 대해 LU 분해의 연속성과 유일성은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 행렬 $A \in M_n(F)$ 는 모든 $k = 1,\dots,n$ 에 대해 부등식 $\text{rank}(A[1..k]) + k \geq \text{rank}(A[1..k,1..n]) + \text{rank}(A[1..n,1..k])$ 가 성립할 때이고, 그 조건이 유일하게 성립할 때에만 LU 분해를 가진다.
• 제안된 알고리즘은 블록 방정식 $a_{11} = l_{11}u_{11}$, $A_{21} = L_{21}u_{11}$, $A_{12} = l_{11}U_{12}$, $A_{22} = L_{21}U_{12} + L_{22}U_{22}$ 를 만족시키며, L과 U를 재귀적으로 구성한다.
• 랭크 조건이 최대 $m$ 만큼 실패할 경우, 논문은 $A = HV$ 로 표현되는 '거의-LU' 분해를 구성한다. 여기서 $H$ 는 하삼각 행렬이고 $V$ 는 상삼각 행렬이며, $H$ 의 첫 $m$개 행과 $V$ 의 첫 $m$개 열은 모두 0이다.
• 모든 정사각행렬 $A$ 에 대해 $A = PLU$ 가 존재한다. 여기서 $P$ 는 순열 행렬, $L$ 은 하삼각 행렬, $U$ 는 상삼각 행렬이며, 행을 재배열하여 랭크 조건을 만족시킨다.
• 논문은 $A = U_1LU_2$ 와 $A = L_1UL_2$ 가 항상 가능함을 보이며, 삼각 행렬 $U_1, U_2, L_1, L_2$ 를 사용하여 고전적 분해 정리를 확장한다.
• 부동소수점 산술에서, 행렬이 가역적이거나 분해가 유일하지 않으면 표준 알고리즘을 통해 LU 분해를 일반적으로 계산할 수 없으며, 이는 연속성과 이웃 영역의 안정성이 부족하기 때문이다.