[논문 리뷰] Necessary and Sufficient Conditions in the Problem of Optimal Investment with Intermediate Consumption

Oleksii Mostovyi|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 30인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 불완전한 세미마링게일 금융시장에서 중간 소비를 수반하는 최적 투자 전략의 존재를 위한 필수 및 필요조건을 수립한다. 유용성의 일반적인 스토크라스틱 필드와 소비 시점에 대한 스토크라스틱 클록을 고려할 때, 핵심 결과—예를 들어 유일한 최적화자 존재, 가치함수의 쌍대성, 이나다 조건 충족—을 위해, 원본 가치함수(기대 유용성)와 쌍대 가치함수(기대 쌍대 유용성)의 유한성이 필요하고 충분함을 보여준다.

ABSTRACT

We consider a problem of optimal investment with intermediate consumption in the framework of an incomplete semimartingale model of a financial market. We show that a necessary and sufficient condition for the validity of key assertions of the theory is that the value functions of the primal and dual problems are finite

연구 동기 및 목표

• 불완전 시장에서 중간 소비를 고려한 유용성 최적화의 핵심 결과가 성립하기 위한 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 기말 소비의 경우에 국한되지 않고, 스토크라스틱 필드 유용성과 소비 시점에 대한 스토크라스틱 클록을 포함한 쌍대 프레임워크를 확장하는 것.
• 기존 이론의 격차를 해소하기 위해, 단지 충분 조건이 아니라 필요 및 충분 조건을 제공하는 것.
• 원본 및 쌍대 가치함수가 최적 소비 및 자산 수익 과정의 존재성과 정규성 보장에 있어 수행하는 역할을 명확히 하는 것.
• 원본 및 쌍대 가치함수의 유한성이 표준 유용성 최적화 이론의 결론이 유지되기 위한 최소 조건임을 보여주는 것.

제안 방법

• 소비 시점의 시간을 모델링하기 위해 스토크라스틱 클록을 사용하여 중간 소비를 고려한 최적 투자 문제를 수립한다.
• 유용성 스토크라스틱 필드의 볼록 쌍대 함수를 통해 쌍대 문제를 도입하고, 쌍대 가치함수를 기대 쌍대 유용성의 하한으로 정의한다.
• 등가 국소 마링게일 디플레이터 집합(Z)을 활용하고, Z에 의해 지배되는 과정들의 측도 수렴에 대한 폐쇄로 구성된 쌍대 도메인 Y를 구축한다.
• 특히 이중 정리(비트코프 정리)를 활용한 토폴로지 벡터 공간 내의 추상적 쌍대 이론을 적용하여 원본 및 쌍대 가치함수 간의 쌍대성 관계를 수립한다.
• 스토크라스틱 과정의 파투 수렴과 선택적 분해를 활용하여, 쌍대성에 의해 적합한 소비 과정을 특성화한다.
• 모든 디플레이터 하에서의 예상 수익의 유계성과 소비 과정의 적합성 간의 동치성을 밝혀내며, 국소화 및 부분 인테그레이션을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불완전한 세미마링게일 금융시장에서 중간 소비를 고려할 때, 최적 소비 전략의 존재를 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 원본 및 쌍대 가치함수의 유한성은 스토크라스틱 필드 유용성과 함께 유용성 최적화에서 최적화자 존재성 및 유일성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 쌍대 도메인은 등가 국소 마링게일 디플레이터 집합 Z로 취할 수 있는가, 아니면 쌍대성 유지에 있어 더 큰 집합 Y가 필요한가?
• RQ4 원본 및 쌍대 가치함수는 어떤 조건에서 쌍대성과 이나다 조건을 충족하는가?
• RQ5 중간 소비 설정에서 원본 가치함수의 유한성(u(x) > -∞)은 비자명한 조건이며, 이는 쌍대 유한성과 어떻게 상호작용하는가?

주요 결과

• 중간 소비를 고려한 유용성 최적화에서 핵심 결과의 타당성을 위한 필수 및 충분 조건은 원본 가치함수 u(x) > -∞ (모든 x > 0에 대해)와 쌍대 가치함수 v(y) < ∞ (모든 y > 0에 대해)의 동시 유한성이다.
• 이러한 유한성 조건 하에서 원본 및 쌍대 가치함수는 상호 쌍대 관계를 가진다: v(y) = sup_x (u(x) - xy) 및 u(x) = inf_y (v(y) + xy), 이 두 함수는 연속 미분 가능하고 엄격하게 오목하며 이나다 조건을 충족한다.
• 모든 x > 0에 대해 고유한 최적 소비 과정 ˆc(x)가 존재하고, 모든 y > 0에 대해 고유한 쌍대 최적화자 ˆY(y)가 존재하며, y = u′(x)일 때 거의 확실히 ˆYt(y) = U′(t, ω, ˆct(x)) 관계가 성립한다.
• 쌍대 관계 ∫₀^∞ ˆct(x) ˆYt(y) dκt = xy 가 거의 확실히 성립하여, 한계 유용성 가격 설정의 경제적 직관을 확인한다.
• 쌍대 가치함수는 최소화자가 Z 밖에 있을 수 있음에도 불구하고, 등가 국소 마링게일 디플레이터 집합 Z 위에서 동치적으로 정의될 수 있으며, 원본 가치함수는 적합한 소비 과정의 부분집합 B 위에서 표현될 수 있다.
• 적합한 소비 과정의 집합 A 와 쌍대 과정의 집합 Y 는 볼록성, 고체성, 그리고 측도 수렴의 위상(dκ × P)에서 닫혀 있으며, 이는 비트코프 정리를 활용한 쌍대성 수립에 기여한다.