[논문 리뷰] Negative Entropy, Pressure and Zero temperature: a L.D.P. for stationary Markov Chains on [0,1]

Artur O. Lopes, Joana Mohr외 2명|arXiv (Cornell University)|2008. 06. 05.

Markov Chains and Monte Carlo Methods인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 [0,1]^N에서의 절대 연속 마르코프 확률 측도 µβ의 가족에 대해, 영온도에서 유일한 최대화 정적 마르코프 확률 측도 µ∞로 약하게 수렴하는 대규모 편차 원리(LDP)를 수립한다. C² 정규성과 휘감김 조건(∂²A/∂x∂y = 0) 하에서, [0,1]²에서의 최대화 측도 ν∞는 단조 증가하는 그래프를 가지며, 마냐의 의미에서 유일성이 보장되며, 에르고딕 최적화와 열역학 체계론 사이의 변분 원리를 연결한다.

ABSTRACT

We analyze some properties of maximizing stationary Markov probabilities on the (modified) Bernoulli space [0, 1] N, which means we consider stationary Markov chains with state space S = [0, 1]. More precisely, we consider ergodic optimization for a continuous potential A, where A: [0, 1] N → R which depends only on the two first coordinates of [0, 1] N. We are interested in finding stationary Markov probabilities µ ∞ on [0, 1] N that maximize the value ∫ Adµ, among all stationary Markov probabilities µ on [0, 1] N. This problem correspond in Statistical Mechanics to the zero temperature case for the interaction described by the potential A. The main purpose of this paper is to show, under the hypothesis of uniqueness of the maximizing probability, a Large Deviation Principle for a family of absolutely continuous Markov probabilities µβ which weakly converges to µ∞. The probabilities µβ are obtained via an information we get from a Perron operator and they satisfy a variational principle similar to the pressure in Thermodynamic Formalism. As the potential A depends only on the first two coordinates, instead of the probability µ on [0, 1] N, we can consider its projection ν on [0, 1] 2. We look at the problem in both ways. If µ ∞ is the maximizing probability on [0, 1] N, we also have that its projection ν ∞ is maximizing for A. The hypothesis about stationary on the maximization problem can also be seen as a transhipment problem. Under the hypothesis of A being C 2 and the twist condition, that is, ∂2 A ∂x∂y (x, y) = 0, for all (x, y) ∈ [0, 1]2, we show the graph property of the maximizing probability ν on [0, 1] 2. Moreover, the graph is monotonous. We also show that, in the sense of Mañé, the maximizing probability is unique. Finally, we exhibit a separating sub-action for

연구 동기 및 목표

• 연속된 잠재력 A가 첫 두 좌표에만 의존하는 [0,1]^N에서의 최대화 정적 마르코프 확률 측도를 분석한다.
• 영온도에서 최대화 측도 µ∞로 약하게 수렴하는 µβ 확률 가족에 대해 대규모 편차 원리(LDP)를 수립한다.
• µ∞를 [0,1]^2로 투영한 ν∞가 최대화되며, 휘감김 조건 하에서 단조 증가하는 그래프를 가짐을 보인다.
• C² 정규성과 휘감김 조건 하에서 마냐의 의미에서 최대화 측도의 유일성을 증명한다.
• 최대화 측도에 대해 분리 가능한 하위행동을 구성하여, 에르고딕 최적화와 열역학 체계론을 연결한다.

제안 방법

• Perron 연산자를 사용하여, β → ∞일 때 최대화 측도 µ∞로 약하게 수렴하는 절대 연속 마르코프 확률 측도 µβ의 가족을 구성한다.
• µβ 가족에 대해 열역학 체계론의 압력과 유사한 변분 원리를 적용한다.
• 측도 µ∞를 ν∞로 투영하여 문제를 [0,1]^N에서 [0,1]^2로 축소함으로써, 이차원 상태 공간에서의 분석을 가능하게 한다.
• 최대화 측도의 구조적 성질을 유도하기 위해, 모든 (x,y) ∈ [0,1]^2에서 ∂²A/∂x∂y(x,y) = 0을 만족하는 휘감김 조건을 도입한다.
• C² 정규성과 휘감김 조건 하에서, 마냐의 최소성 개념을 활용하여 최대화 측도의 유일성을 확립한다.
• 최대화 측도를 특징짓고 변분 원리를 뒷받침하는 분리 가능한 하위행동을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 µβ 확률 가족이 [0,1]^N에서 영온도 최대화 측도 µ∞로 수렴하는 데 대해 대규모 편차 원리가 성립하는가?
• RQ2 휘감김 조건 하에서 최대화 측도 µ∞의 [0,1]^2로의 투영인 ν∞는 어떤 구조적 성질을 갖는가?
• RQ3 A가 C²이고 휘감김 조건을 만족할 때, 최대화 측도 µ∞가 마냐의 의미에서 유일한가?
• RQ4 [0,1]^2에서 최대화 측도 ν∞에 대해 분리 가능한 하위행동을 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 µβ에 대한 변분 원리는 영온도 극한에서 열역학 체계론의 압력 기능과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 휘감김 조건 ∂²A/∂x∂y = 0 하에서, [0,1]^2에서의 최대화 측도 ν∞는 단조 증가하는 그래프를 가지며, 좌표 간의 결정론적 관계를 의미한다.
• A가 C²이고 휘감김 조건을 만족할 경우, [0,1]^N에서의 최대화 측도 µ∞는 마냐의 의미에서 유일하다.
• µβ 측도 가족은 상대 엔트로피와 잠재력 A와 관련된 비용 함수를 갖는 대규모 편차 원리를 만족하며, β → ∞일 때 µ∞로 약하게 수렴한다.
• µ∞를 [0,1]^2로 투영한 ν∞는 잠재력 A에 대해 최대화되며, [0,1]^N에서의 최적화 문제는 [0,1]^2에서 동치로 축소된다.
• 최대화 측도 ν∞에 대해 분리 가능한 하위행동이 존재하여, 에르고딕 최적화의 맥락에서 변분 특성화를 제공한다.
• µβ에 대한 변분 원리는 열역학 체계론의 압력 기능을 모방하며, 에르고딕 최적화와 통계역학 간의 다리를 놓는다.