[논문 리뷰] Negative Entropy, Zero temperature and stationary Markov Chains on the interval

Artur O. Lopes, Joana Mohr외 2명|ArXiv.org|2008. 06. 05.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 37인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 [0,1]^N 위의 이동 지도에 대해 두 좌표에 의존하는 포텐셜을 갖는 에르고딕 최적화를 연구하며, 점진적으로 수렴하는 절대 연속 정상 마르코프 측도 μ_β의 집합에 대해 영온도에서의 대 deviations 원리(Large Deviation Principle)를 확립한다. 이 측도들은 약한 수렴으로 μ_∞로 수렴하며, 이는 유일한 최대화 측도이다. C² 조건과 트위스트 조건을 만족할 경우, 최대화 측도는 단조 증가 그래프 성질을 가지며, 마냐의 의미에서 일반적으로 유일하다. 또한 명시적으로 분리 가능한 하향 서브행렬(sub-action)을 구성한다.

ABSTRACT

We analyze some properties of maximizing stationary Markov probabilities on the Bernoulli space $[0,1]^\mathbb{N}$, More precisely, we consider ergodic optimization for a continuous potential $A$, where $A: [0,1]^\mathbb{N} o \mathbb{R}$ which depends only on the two first coordinates. We are interested in finding stationary Markov probabilities $μ_\infty$ on $ [0,1]^\mathbb{N}$ that maximize the value $ \int A d μ,$ among all stationary Markov probabilities $μ$ on $[0,1]^\mathbb{N}$. This problem correspond in Statistical Mechanics to the zero temperature case for the interaction described by the potential $A$. The main purpose of this paper is to show, under the hypothesis of uniqueness of the maximizing probability, a Large Deviation Principle for a family of absolutely continuous Markov probabilities $μ_β$ which weakly converges to $μ_\infty$. The probabilities $μ_β$ are obtained via an information we get from a Perron operator and they satisfy a variational principle similar to the pressure. Under the hypothesis of $A$ being $C^2$ and the twist condition, that is, $\frac{\partial^2 A}{\partial_x \partial_y} (x,y) eq 0$, for all $(x,y) \in [0,1]^2$, we show the graph property.

연구 동기 및 목표

• 모든 σ-불변 측도 중에서 ∫A dμ를 최대화하는 [0,1]^N 위의 정상 마르코프 측도 μ_∞를 식별하는 것.
• 페론 연산자로부터 유도된 절대 연속 정상 마르코프 측도 μ_β의 가족이 영온도 극한(β→∞)을 분석하는 것.
• μ_β가 μ_∞로 수렴하는 데 대해 대 deviations 원리를 확립하는 것.
• C² 조건과 트위스트 조건 하에서 [0,1]² 위의 최대화 측도 ν_∞의 그래프 성질과 단조성 증명하기.
• 마냐의 의미에서 최대화 측도의 일반적 유일성을 보이고, A에 대해 분리 가능한 서브행렬을 구성하는 것.

제안 방법

• L_βφ(x) = ∫ e^{βA(x,y)} φ(x) dx 형태의 페론 연산자 및 그 수반 연산자를 사용하여 고유함수와 고유값을 생성하고, 이를 통해 μ_β를 불변 측도로 도출하는 것.
• 크레인-루트만 정리를 적용하여 연산자에 대해 양의 고유함수와 고유값의 존재를 보장하는 것.
• μ의 프로젝션 ν를 통해 문제를 [0,1]²로 축소하는 것. 여기서 ν는 (x₁,x₂) ↦ (x₁,x₂)에 의한 μ의 프로젝션이다.
• m = sup_μ ∫A dμ로 정의된 값 m을 최대 에르고딕 평균으로 간주하며, 영온도 극한에서 압력으로서의 m을 정의하는 것.
• 경로를 따라 ∑(A - m)의 최소값을 취해 h(x,y) = S(x,y)를 정의하고, h(x,y) ≤ -A(x,y) + m을 만족하는 하향 서브행렬을 구성하는 것.
• A의 호일더 연속성으로부터 S_x(y)의 균일 호일더 연속성을 증명하고, 이를 통해 정규화된 서브행렬의 급수를 통해 연속적이고 분리 가능한 서브행렬 u를 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 β→∞일 때 절대 연속 정상 마르코프 측도 μ_β의 가족은 대 deviations 원리를 만족하는가?
• RQ2 포텐셜 A에 대해 [0,1]^N 위의 최대화 측도 μ_∞는 어떤 조건에서 유일한가?
• RQ3 μ_∞에서의 그래프 성질과 단조성이 [0,1]² 위의 프로젝션 측도 ν_∞로 이행되는가?
• RQ4 C² 포텐셜 A가 트위스트 조건을 만족할 경우, 분리 가능한 하향 서브행렬을 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 μ_β의 영온도 극한은 최대화 측도 μ_∞의 지지집합과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• μ_β의 가족은 엔트로피 보정 압력과 관련된 비용 함수를 갖는 대 deviations 원리를 만족하며, μ_∞에서의 이격도는 지수적으로 감소함을 보장한다.
• C² 정규성과 트위스트 조건 ∂²A/∂x∂y ≠ 0을 만족할 경우, [0,1]² 위의 최대화 측도 ν_∞는 단조 증가 그래프를 가지며, 즉 ν_∞는 단조 증가 함수의 그래프 위에 지지된다.
• 최대화 측도 μ_∞는 마냐의 의미에서 일반적으로 유일하다. 즉, 임의의 잔여 집합의 포텐셜 A에 대해 유일성이 성립한다.
• max_y {u(y) - u(x) + A(x,y)} < m (x ∉ Ω(A)), = m (x ∈ Ω(A))를 만족하는 분리 가능한 하향 서브행렬 u가 존재한다. 여기서 Ω(A)는 재귀점의 집합이다.
• S_x(y) = x에서 y로의 경로를 따라 ∑(A - m)의 최소값으로 정의된 함수 S_x(y)는 S_x(y) ≤ -A(x,y) + m를 만족하며, A와 같은 지수를 갖는 균일 호일더 연속성을 가진다.
• 구성된 서브행렬 u는 정규화된 하향 서브행렬의 무한한 균일 수렴 합성으로 구성되며, 연속성과 분리 성질을 보장한다.