[논문 리뷰] Negative Imaginary Systems Theory for Nonlinear Systems: A Dissipativity Approach

Ahmed G. Ghallab, Ian R. Petersen|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 01.

Piezoelectric Actuators and Control인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 입력과 출력의 도함수를 포함하는 시간 도메인 공급률을 갖는 소산성 프레임워크를 사용하여, 비선형 시스템으로 음의 허수( NI) 시스템 이론을 일반화한다. 비선형 음의 허수( NNI) 시스템과 약하게 엄격한 NNI 컨트롤러의 정방향 피드백 연결에 대해 강건한 점근적 안정성을 확립하며, 질량- 스프링- 댐퍼 예제를 통해 검증하고 자유 운동을 갖는 시스템으로까지 확장된다.

ABSTRACT

Negative imaginary (NI) systems theory is a well-established system theoretic framework for analysis and design of linear-time-invariant (LTI) control systems. In this paper, we aim to generalize negative imaginary systems theory to a class of nonlinear systems. Based on the time domain interpretation of the NI property for LTI systems, a formal definition in terms of a dissipativity with an appropriate work rate will be used to define the nonlinear negative imaginary (NNI) property for a general nonlinear system. Mechanical systems with force actuators and position sensors are nonlinear negative imaginary according to this new definition. Using Lyapunov stability theory, we seek to establish a nonlinear generalization of the NI robust stability result for positive feedback interconnections of NNI systems. An example of a nonlinear mass-spring-damper system with force as input and displacement of the mass as output will be presented to illustrate the applicability of the NNI stability result. Furthermore, the case of NI systems with free motion will be investigated in the nonlinear domain based on the dissipativity framework of NNI systems.

연구 동기 및 목표

• 시간 도메인 소산성 프레임워크를 사용하여 선형 음의 허수( NI) 시스템 이론을 비선형 시스템의 일정한 클래스로 확장한다.
• 입력과 출력의 도함수를 포함하는 공급률에 기반한 공식적인 비선형 음의 허수( NNI) 성질을 정의한다.
• 최소한의 가정 하에 NNI 시스템과 약하게 엄격한 NNI 컨트롤러의 정방향 피드백 연결에 대해 강건한 점근적 안정성을 확립한다.
• 특히 통합기와의 연결을 통해 자유 운동을 갖는 시스템을 포함하도록 NNI 프레임워크를 확장한다.
• 비선형 질량-스프링-댐퍼 시스템을 통해 적용 가능성을 제시하고, 라플라스 기반 분석을 통해 이론적 결과를 검증한다.

제안 방법

• 공급률 $ \sigma(y, u) = \dot{y}^T u $ 를 갖는 소산성 프레임워크를 통해 NNI 성질을 정의하여 입력에서 출력 도함수로의 에너지 흐름을 포착한다.
• 라플라스 안정성 이론을 사용하여 정방향 피드백 연결 하에서 폐쇄형 루프 시스템의 점근적 안정성을 증명한다.
• 동역학 $ \dot{\eta}_1 = f_1(\eta_1) + g_1(\eta_1)\xi $, $ y_1 = h_1(\eta_1) $ 를 갖는 상태공간 표현 $ \Sigma_1 $ 를 도입하며, $ \Sigma_1 $ 는 NNI 이고 영상상 관측 가능하다.
• 컨트롤러 $ \Sigma_2 $ 를 입력에 대해 암시적인 비선형 시스템 $ \dot{\eta}_2 = f_2(\eta_2) + g_2(\eta_2)u_2 $, $ y_2 = h_2(\eta_2) $ 로 모델링하며, 약하게 엄격한 NNI( WS-NNI) 성질을 갖는다.
• NNI 및 WS-NNI 성질을 활용하는 라플라스 함수 후보를 통해 안정성을 확립하여 $ \dot{V} \leq 0 $ 이고 평형점으로의 점근적 수렴을 보장한다.
• 자유 운동을 갖는 시스템으로의 프레임워크 확장을 위해 비선형 시스템과 통합기의 연결을 분석하여, 특정 조건 하에 이러한 시스템이 여전히 NNI임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 도메인 소산성 프레임워크를 사용하여 음의 허수 성질을 선형에서 비선형 시스템으로 공식적으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 비선형 음의 허수( NNI) 시스템과 약하게 엄격한 NNI( WS-NNI) 컨트롤러의 정방향 피드백 연결에서 강건한 점근적 안정성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 특히 통합기의 연결을 포함하는 시스템에 대해 NNI 프레임워크를 자유 운동을 포함하도록 확장할 수 있는가?
• RQ4 제안된 NNI 정의는 힘 입력과 변위 출력을 갖는 기계적 질량-스프링-댐퍼 시스템과 같은 물리적 시스템에 어떻게 적용되는가?
• RQ5 비선형 시스템이 NNI 성질을 만족하기 위해 필요한 필수 및 충분한 조건은 무엇인가? 이는 시스템 구조와 공급률에 따라 달라진다.

주요 결과

• 공급률 $ \sigma(y, u) = \dot{y}^T u $ 를 갖는 소산성 이론에 기반한 비선형 음의 허수( NNI) 시스템의 공식적 정의를 제안하여, LTI NI 성질을 비선형 영역으로 일반화한다.
• 힘 액추에이터와 위치 센서를 갖는 기계 시스템이 제안된 정의 하에 NNI임이 증명되어 물리적 관련성을 입증한다.
• 영상상 관측 가능성과 국소 리프시츠 연속성 등의 약한 가정 하에 NNI 식물과 WS-NNI 컨트롤러의 정방향 피드백 연결에 대해 강건한 점근적 안정성이 확립된다.
• 힘 입력과 변위 출력을 갖는 비선형 질량-스프링-댐퍼 시스템이 NNI 조건을 만족하고, 라플라스 분석을 통해 폐쇄형 루프 안정성이 증명된다.
• 자유 운동을 갖는 시스템으로의 프레임워크 확장: 입력에 대해 암시적인 비선형 시스템과 통합기의 연결은 적절한 조건 하에 여전히 NNI임이 증명된다.
• 안정성 결과는 $ \dot{V} \leq 0 $ 를 보장하는 라플라스 함수 구성으로 검증되며, 이는 폐쇄형 루프 시스템의 원점에 대한 점근적 안정성을 이끈다.