[논문 리뷰] Negative temperature states as exact equilibrium solutions of the Wave Kinetic equation for one dimensional lattices

Miguel Onorato, Giovanni Dematteis외 4명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 19.

Nonlinear Photonic Systems참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1차원 비선형 격자에서의 음의 온도 상태가 비선형 슈뢰딩거 방정식의 이산형(DNLS)에 대한 파동 운동학적(WK) 방정식의 정확한 평형 해로 나타남을 제안한다. 단조 증가하는 엔트로피 기능을 유도하고 행동 분포의 변동성을 분석함으로써, 분산 관계가 상한선으로 끝날 경우 음의 온도가 나타나며, 수치 시뮬레이션을 통해 예측된 평형 스펙트럼과 변동성의 급속한 평형에 도달하는 지수 분포가 확인된다.

ABSTRACT

We predict negative temperature states in the Discrete Nonlinear Schödinger equation as exact solutions of the associated Wave Kinetic equation. Those solutions are consistent with the classical thermodynamics formalism. Explicit calculation of the entropy as a function of the energy and number of particles is performed analytically. Direct numerical simulations of the DNLS equation are in agreement with theoretical results. We show that the key ingredient for observing negative temperatures in lattices is the boundedness of the dispersion relation in its domain. States with negative temperatures are characterized by an accumulation of particles and energy at wavenumber $k=π$.

연구 동기 및 목표

• 파동 운동학 이론을 사용하여 1차원 격자에서 음의 온도 상태를 정확한 평형 해로 설정한다.
• 고전적 평형 통계역학과 일치하는 정적 상태로 수렴하는 단조 증가 엔트로피 기능을 정의한다.
• 평균 파동 행동 스펙트럼 주변의 행동 분포 변동성의 시간적 진화를 분석하고, 그 회복 timescale을 결정한다.
• DNLS 방정식의 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 예측을 검증한다.
• 두 개의 보존량을 가진 시스템에서 음의 온도가 나타나는 조건, 특히 분산 관계가 유계인 경우를 명확히 한다.

제안 방법

• 약한 비선형성과 무작위 위상 근사법을 사용하여 DNLS 방정식으로부터 파동 운동학(WK) 방정식을 유도한다.
• 파동 행동 스펙트럼 $ n_k $를 정의하고, H-정리가 성립하도록 하는 엔트로피 기능 $ S $를 구성하여 시간에 따라 단조 증가하는 평형 상태로 수렴하도록 보장한다.
• 행동 확률 분포의 두 번째 모멘트 $ \Lambda_k(t) $에 대한 동역학 방정식을 수립하여 변동성의 회복을 연구한다.
• 파동 운동학 방정식의 평형 해로 레일리-지언스 분포를 사용하며, 에너지와 노름 보존 조건에 의해 매개변수화된다.
• 주기적 경계 조건을 가진 DNLS 방정식의 수치 시뮬레이션을 수행하고, 스펙트럼과 변동성의 시간 진화를 이론적 예측과 비교한다.
• 유계 분산 관계가 음의 온도를 가능하게 하는 역할을 분석하여, 음의 $ T $ 에서도 양의 입자 분포가 가능하도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 DNLS 시스템에 대한 파동 운동학 방정식의 정확한 평형 해로서 음의 온도 상태를 도출할 수 있는가?
• RQ2 엔트로피 기능은 시간이 지남에 따라 어떻게 행동하며, 정적 상태로 단조 증가하는가?
• RQ3 파동 행동 $ I_k $ 의 변동성이 평형 분포로 수렴하는 timescale은 스펙트럼이 레일리-지언스 분포에 도달하는 timescale과 비교하여 어떻게 되는가?
• RQ4 두 개의 보존량을 가진 격자에서 파동 운동학 접근법이 음의 온도를 예측하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 행동 분포와 변동성 역학에 대한 이론적 예측은 DNLS 방정식의 수치 시뮬레이션을 통해 확인할 수 있는가?

주요 결과

• 분산 관계가 상한선으로 끝날 경우, 즉 DNLS 모델에서처럼, 음의 온도 상태가 파동 운동학 방정식의 정확한 평형 해로 나타난다.
• 파동 운동학 접근법에서 도출된 엔트로피 기능은 시간에 따라 단조 증가하며, 고전적 평형 통계역학과 일치하는 정적 상태에 도달한다.
• 파동 행동 $ I_k $ 의 변동성은 스펙트럼이 레일리-지언스 분포에 도달하는 것보다 빠른 timescale로 평형 지수 분포로 수렴한다.
• 행동 분포의 두 번째 모멘트 $ \Lambda_k(t) $ 는 $ \Lambda_k(t) = 2n_k^2(t) $ 를 따라 급속하게 진화하며, 이론적 예측과 일치한다.
• DNLS 방정식의 수치 시뮬레이션은 평형 스펙트럼과 변동성의 회복에 대해 이론적 예측과 뛰어난 일치를 보였다.
• 파동 운동학 접근법은 공진 4파동 상호작용과 상한선이 존재하는 분산 관계를 가진 모든 분산파 시스템에 적용 가능하며, 다중모드 광섬유 및 2차원 난류와 같은 절단된 시스템을 포함한다.