[논문 리뷰] Neighborhoods of Analytic Varieties in Complex Manifolds

César Camacho, Hossein Movasati|ArXiv.org|2002. 08. 07.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복소다양체 내의 날개형 이웃에서 Grauert의 형식 원리를 확장하여, 리만 곡면이 포함된 복소표면 내에서 두 수직적 날개형의 형식적 동치 조건을 설정한다. 코homological 장애와 Serre 대칭을 이용해, 만약 $A.A$ 가 종수 및 접촉성에 비해 충분히 음수이면 형식적 동형이 보장됨을 증명한다.

ABSTRACT

The systematic study of neighborhoods of analytic varieties was started by H. Grauert in his celebrated article 1962. In that article he considers a manifold X and a negatively embedded submanifold A subset X. He introduces n-neighborhood, n in N, of A and studies when an isomorphism of two n-neighborhoods can be extended to an isomorphism of (n+1)-neighborhoods. He observes that obstructions to this extension problem lie in the first cohomology group of certain sheaves involving the normal bundle of A in X. Using a version of Kodaira vanishing theorem he shows that for a large n these cohomology groups vanish and so he concludes that the germ of a negatively embedded manifold A depends only on a finite neighborhood of it. These methods are generalized to a germ of an arbitrary negatively embedded divisor A by Hironaka, Rossi and Laufer. In the case where A is a Riemann surface embedded in a two dimensional manifold, by using Serre duality we can say exactly which finite neighborhood of A determines the embedding. This isa first draft of an expository article about negatively embedded varieties. The text is mainly based on Grauert's paper, but we have used also the contributions of subsequent authors; for instance the Artin's criterion on the existence of convergent solutions is used instead of Grauert's geometrical methods. Our principal aim is to extend this study to the germ of foliated neighborhoods and singularities. In the first steps we will consider the most simple foliations which are transversal foliations. Next, foliations with tangencies and Poincare type singularities will be considered.

연구 동기 및 목표

• 분석적 다양체에서의 Grauert의 형식 원리를 복소다양체 내의 날개형 이웃으로 일반화하기.
• 복소다양체 $X$에 매장된 부분다양체 $A$ 근처의 흐름의 꼬리(germ)를 분류하기, 특히 수직적 및 접촉적 날개형에 초점 맞추기.
• 두 날개형이 형식적으로 동치가 되는 조건을 규명하기, 특히 복소표면 내의 리만 곡면의 경우에 중점 두기.
• 코homological 장애와 Serre 대칭을 이용해 형식적 동형의 수렴성 및 존재성을 확립하기.
• Artin의 수렴해 기준을 날개형 구조로 확장하여, Grauert의 기하학적 방법 대신 코homological 기법을 사용하기.

제안 방법

• 형식적 이웃의 구성인 $A_{(\nu)} = \tilde{\rho}^*({\rm O}_X / \frak{M}^\nu)$ 와 역극한 $A_{(\nu)} \to A_{(\nu-1)}$ 를 사용해 형식적 완비화 $A_{(\nu)}$ 를 정의한다.
• Grauert의 단계별 확장 방법을 적용하며, 동형의 확장을 위한 장애는 정규(bundle)과 날개형의 접선층을 포함하는 층의 $H^1$ 에 위치한다.
• 형식적 날개형의 날개형을 유지하는 $\nu$-이웃의 자기동형사상의 매개변수화를 위해 $\mathcal{T}_{\mathcal{F}}(\nu) = \mathcal{T}_{\mathcal{F}} \otimes \mathcal{Q}_\nu$ 를 도입한다.
• Serre 대칭을 활용해 $H^1(A, \mathcal{T}_{\mathcal{F}}(\nu))$ 를 계산하고, $c(\Omega \otimes T_{\mathcal{F}}^* \otimes N^\nu) < 0$ 일 때의 영성(zeroness)을 보여준다.
• 순서 $\nu$ 의 벡터장과 $\nu$-이웃의 자기동형사상 간의 관계를 $\operatorname{Aut}(\nu, \mathcal{F}) \cong \mathcal{T}_{\mathcal{F}}(\nu)$ 를 통해 연결한다.
• Artin의 기준을 적용해 형식적 동형을 수렴적 동형으로 올리며, Grauert의 기하학적 수렴성 논증을 코homological 기법으로 대체한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소다양체 $X$ 내의 부분다양체 $A$ 근처의 두 날개형 이웃 간의 형식적 동형이 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 복소표면 $X$ 내의 리만 곡면 $A$ 근처의 이웃에서 두 수직 날개형이 형식적으로 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 정규(bundle)과 날개형 구조를 포함하는 층의 $H^1$ 에서의 코homological 장애는 동형의 확장을 어떻게 영향을 주는가?
• RQ4 Serre 대칭은 형식적 동형의 장애의 영성 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 분석적 다양체에 대한 형식 원리는 날개형 구조로 일반화될 수 있는가, 그리고 필요한 위상적 및 기하학적 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 날개형 $\mathcal{F}$ 를 유지하는 $\nu$-이웃의 자기동형사상군은 $\mathcal{T}_{\mathcal{F}}(\nu)$, 즉 $\mathcal{F}$ 와 접하는 순서 $\nu$ 의 벡터장의 층과 동형이다.
• 복소표면 $X$ 내에 매장된 종수 $g$ 의 리만 곡면 $A$ 에 대해, 두 비특이적이고 수직적인 날개형 $\mathcal{F}$ 와 $\mathcal{F}'$ 간의 형식적 동형이 존재하는 조건은 $A.A < \min\{0, 2 - 2g - \operatorname{tang}(\mathcal{F}, A)\}$ 를 만족할 때이다.
• 형식적 동형의 $\nu$-이웃으로의 확장을 위한 장애는 $H^1(A, \mathcal{T}_{\mathcal{F}}(\nu))$ 에 위치하며, 이는 $c(\Omega \otimes T_{\mathcal{F}}^* \otimes N^\nu) < 0$ 조건이 성립할 경우 영이 된다.
• 조건 $A.A < 2 - 2g - \operatorname{tang}(\mathcal{F}, A)$ 는 Serre 대칭을 통해 $H^1(A, \mathcal{T}_{\mathcal{F}}(\nu))$ 의 영성을 보장한다.
• 형식적 이웃 $A_{(\infty)} = \varprojlim A_{(\nu)}$ 는 매장의 꼬리(germ)를 포착하며, 그 구조는 날개형 이웃의 형식적 동치류를 결정한다.
• Artin의 기준을 활용해 형식적 동형을 수렴적 동형으로 올릴 수 있으며, 이는 위상적 조건이 만족될 경우 형식적 동치가 실제 국소 biholomorphism 을 의미함을 보장한다.