[논문 리뷰] Nested sampling on non-trivial geometries

Kamran Javid|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 22.

Pulsars and Gravitational Waves Research참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 원, 토러스, 구와 같은 다양체 위에서 샘플링 효율을 향상시키기 위해 제안 분포를 감싸거나 카르테시안 좌표계로 변환하여 도메인 외부의 점이 자동으로 기각되는 것을 방지하는 기하학적 내재된 샘플링 알고리즘을 소개한다. 특히 낮은 라이브포인트 수에서 고차원 토러이드 및 구 구조를 가진 다모달 사후분포를 복원할 때 MultiNest보다 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

Metropolis nested sampling evolves a Markov chain from a current livepoint and accepts new points along the chain according to a version of the Metropolis acceptance ratio modified to satisfy the likelihood constraint, characteristic of nested sampling algorithms. The geometric nested sampling algorithm we present here is a based on the Metropolis method, but treats parameters as though they represent points on certain geometric objects, namely circles, tori and spheres. For parameters which represent points on a circle or torus, the trial distribution is `wrapped' around the domain of the posterior distribution such that samples cannot be rejected automatically when evaluating the Metropolis ratio due to being outside the sampling domain. Furthermore, this enhances the mobility of the sampler. For parameters which represent coordinates on the surface of a sphere, the algorithm transforms the parameters into a Cartesian coordinate system before sampling which again makes sure no samples are automatically rejected, and provides a physically intutive way of the sampling the parameter space. We apply the geometric nested sampler to two types of toy model which include circular, toroidal and spherical parameters. We find that the geometric nested sampler generally outperforms extsc{MultiNest} in both cases. \\ %We also apply the algorithm to a gravitational wave detection model which includes circular and spherical parameters, and find that the geometric nested sampler and extsc{MultiNest} appear to perform equally well as one another. Our implementation of the algorithm can be found at \url{https://github.com/SuperKam91/nested_sampling}.

연구 동기 및 목표

• 원, 토러스, 구와 같은 비자명한 다양체 위에 정의된 분포에서 표준 내재된 샘플링의 비효율성을 해결하기 위해.
• 제약 조건이 있는 매개변수 공간에서 경계 효과로 인한 제안의 자동 기각을 줄이고 샘플러의 이동성을 향상시키기 위해.
• 원형, 토러이드형, 구형 매개변수의 내재된 위상 구조를 존중하는 메트로폴리스 내재된 샘플링 알고리즘의 기하학적으로 정보화된 변종을 개발하기 위해.
• 원형, 토러이드형, 구형 대칭성을 가진 토이 모델에서 고차원 다모달 사후분포를 평가하기 위해.
• 기하학적 내재된 샘플링이 다양체 위에서 복잡한 대칭 모드를 복원하는 데 표준 알고리즘(예: MultiNest)보다 뛰어나다는 것을 입증하기 위해.

제안 방법

• 원형 및 토러이드형 매개변수의 경우, 알고리즘은 제안 분포를 주기적 도메인에 감싸서 모든 제안된 점이 유효한 샘플링 공간 내에 있도록 한다.
• 이러한 감싸기 방식은 경계로 인한 자동 기각을 방지하여, 특히 모서리나 불연속성 근처에서 이동성을 향상시킨다.
• 구형 매개변수의 경우, 알고리즘은 각도 좌표(예: 극각 및 방위각)를 유클리드 공간 내 카르테시안 좌표계로 매핑하여 샘플링을 수행한다.
• 카르테시안 공간으로의 변환은 구 표면 외부에 있는 제안이 기각되는 것을 방지한다.
• 알고리즘은 가능도 제약 조건을 존중하는 메트로폴리스 스타일의 수용 비율을 사용하며, 同시에 매개변수 공간 내 기하학적 일관성을 유지한다.
• 이 방법은 Python 2.7로 구현되었으며, 원 위의 버흐-미제 분포, 6차원 토러스, 그리고 구 위의 다수의 켑트-분포 꽃잎 모형 등 토이 모델에 적용되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원형, 토러이드형, 구형 매개변수의 기하학적 구조를 존중하는 내재된 샘플링 알고리즘이 샘플링 효율성과 이동성을 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 고차원 토러이드 및 구 다양체 위에서 다모달 사후분포를 복원할 때 기하학적 내재된 샘플링은 MultiNest에 비해 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ3 감싸인 제안 또는 카르테시안 변환을 사용함으로써 제약 조건이 있는 매개변수 공간에서 기각된 샘플 수가 감소하고 수렴성이 향상되는가?
• RQ4 복잡한 대칭 분포에서 낮은 라이브포인트 수 환경에서 기하학적 내재된 샘플링은 MultiNest를 얼마나 뛰어나게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 기하학적 내재된 샘플링은 표준 내재된 샘플링 방법보다 다모달 특징(예: 구 위의 '꽃잎')의 대칭성과 형태를 더 잘 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 원형 토이 모델(버흐-미제 분포)에서 기하학적 내재된 샘플링(MG)과 MultiNest(MN)는 차원 수가 낮아 비교적 유사한 성능을 보였다.
• 60개의 1/4 피크를 가진 6차원 토러스 모델에서 MG는 50개의 라이브포인트로 모든 피크를 잘 복원했지만, MN은 3개를 완전히 놓쳤고 14개는 열악하게 복원했다.
• 500개의 라이브포인트로는 MN의 성능이 향상되었지만 여전히 MG에 뒤지며, MG는 일관된 성능 유지를 유지함으로써 낮은 라이브포인트 수에 대한 강건성을 입증했다.
• 여섯 개의 구 각각에 8개의 대칭 꽃잎이 있는 12차원 문제에서 두 알고리즘이나 진짜 분포를 완벽하게 복원하지 못했지만, MG는 모드의 대칭성과 형태를 더 잘 유지했다.
• 기하학적 내재된 샘플러의 성능 우월성은 문제를 기하학적 공간에서 단일 모드로 간주함으로써 고차원 대칭 다양체에서 MultiNest의 군집화 오류를 피하기 때문이었다.
• 구현 코드는 https://github.com/SuperKam91/nested_sampling 에 공개되어 있으나, MultiNest나 POLYCHORD와 같은 FORTRAN 기반 도구에 비해 성능 최적화가 되어 있지 않다.