[논문 리뷰] Nested subclasses of the class of $α$-selfdecomposable distributions

Makoto Maejima, Yohei Ueda|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 가지 접근 방식인 극한 정리와 무한히 나누어지는 분포의 사상에 기반하여 ℝᵈ 위의 α-자기분해 가능 분포의 중첩된 하위클래스를 도입하고 분석한다. 주요 기여는 모든 α ∈ ℝ에 대해 이러한 중첩된 하위클래스의 극한 클래스를 α-자기분해 가능 분포와 엄밀한 안정 분포 클래스의 폐쇄의 교차로 통합적으로 특성화한 것으로, 특히 α ∈ (0,2)에 대해 α에 따라 명시적인 조건을 제시한다.

ABSTRACT

A probability distribution $μ$ on $\mathbb R ^d$ is selfdecomposable if its characteristic function $\widehatμ(z), z\in\mathbb R ^d$, satisfies that for any $b>1$, there exists an infinitely divisible distribution $ρ_b$ satisfying $\widehatμ(z) = \widehatμ(b^{-1}z)\widehatρ_b(z)$. This concept has been generalized to the concept of $α$-selfdecomposability by many authors in the following way. Let $α\in\mathbb R$. An infinitely divisible distribution $μ$ on $\mathbb R ^d$ is $α$-selfdecomposable, if for any $b>1$, there exists an infinitely divisible distribution $ρ_b$ satisfying $\widehatμ(z) = \widehat μ(b^{-1}z)^{b^α}\widehatρ_b(z)$. By denoting the class of all $α$-selfdecomposable distributions on $\mathbb R ^d$ by $L^{\leftangleα ightangle}(\mathbb R ^d)$, we define in this paper a sequence of nested subclasses of $L^{\leftangleα ightangle}(\mathbb R ^d)$, and investigate several properties of them by two ways. One is by using limit theorems and the other is by using mappings of infinitely divisible distributions.

연구 동기 및 목표

• ℝᵈ 위의 α-자기분해 가능 분포 클래스 내에서 중첩된 하위클래스의 계층을 정의하고 연구하기 위해.
• 극한 정리와 무한히 나누어지는 분포의 사상이라는 두 가지 상호보완적 접근을 사용하여 이러한 하위클래스의 구조와 성질을 탐구하기 위해.
• 모든 실수 α에 대해 이러한 중첩된 하위클래스의 극한 클래스를 통합적으로 특성화하기 위해, 특히 α ≤ 0, 0 < α < 1, α = 1, 및 1 < α < 2의 경우의 행동을 구분하기 위해.
• 반복 적용된 사상 Φₐ와 극한 클래스 사이의 연결을 확립하여, 특정 분포 클래스의 교차로 수렴함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 각 b > 1에 대해 특성 함수가 μ̂(z) = μ̂(b⁻¹z)^{b^α} ρ_b(z) 를 만족하고, ρ_b ∈ Lₘ₋₁^(⟨α⟩)(ℝᵈ) 인 조건을 요구하여, L₀^(⟨α⟩)(ℝᵈ) = L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) 에서 시작하여 Lₘ^(⟨α⟩)(ℝᵈ) 를 재귀적으로 정의한다.
• 무한소 삼각형 배열을 포함하는 극한 정리를 사용한다: 독립적인 랜덤 변수의 수열 {Xₙ}, 감소하는 스케일링 {aₙ} ↓ 0, 중심화 항수 {cₙ} 가 존재하여 aₙ⁻¹∑ⱼ₌₁ⁿ Xⱼ + cₙ 이 분포적으로 μ로 수렴한다.
• 확률 측도 공간 위에 사상 Φₐ를 정의하여, 반복을 통해 중첩된 하위클래스를 생성한다: Φₐ^m+1(𝕀(ℝᵈ)) 는 Lₘ^(⟨α⟩)(ℝᵈ) 를 생성한다.
• 극한 클래스를 m → ∞ 일 때 L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) 와 엄밀한 안정 분포 클래스의 폐쇄, 즉 S(ℝᵈ) 의 교차로 특성화한다.
• 모든 α ∈ ℝ 에 대해 limₘ→∞ 𝔒(Φₐ^{m+1}) = L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ cl(S(ℝᵈ)) 의 동치성을 확립하며, α의 값에 따라 보완적인 특성화를 제공한다.
• 스펙트럼 측도와 매개수 β를 포함하는 적분 조건을 사용하여 극한에서 중심화 항을 특성화한다. 특히 α = 1 및 α ∈ (1,2) 에서 중요한 역할을 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 α ∈ ℝ 에 대해 m → ∞ 일 때 중첩된 하위클래스 Lₘ^(⟨α⟩)(ℝᵈ) 의 극한 클래스는 무엇인가?
• RQ2 무한히 나누어지는 분포의 사상과 극한 정리는 α-자기분해 가능 분포의 중첩된 하위클래스를 특성화하는 데 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 모든 α ∈ ℝ 에 대해 중첩된 하위클래스의 극한 클래스를 통일적으로 표현할 수 있는가? 만약 가능하면, 그 통합된 형태는 무엇인가?
• RQ4 엄밀한 안정 분포 클래스의 폐쇄는 이러한 중첩된 하위클래스의 극한 특성화에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 다양한 α ∈ (0,2) 에 대해 리뷰 측도와 스펙트럼 측도의 조건은 극한 클래스의 수렴성과 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 α ∈ ℝ 에 대해 m → ∞ 일 때 중첩된 하위클래스 Lₘ^(⟨α⟩)(ℝᵈ) 의 극한은 L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ cl(S(ℝᵈ)) 로 주어지며, 이는 모든 실수 α 에 대해 통합된 특성화를 제공한다.
• α ≤ 0 인 경우, 극한 클래스는 L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ cl(S(ℝᵈ)) = L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ {δ₀} 이며, 이는 유일한 가능한 극한이 원점에서의 탈진 분포임을 의미한다.
• 0 < α < 1 인 경우, 극한 클래스는 L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ cl(S(ℝᵈ)) ∩ ℂₐ(ℝᵈ) 이며, 여기서 ℂₐ(ℝᵈ) 는 스펙트럼 측도에 특정한 모멘트 조건을 만족하는 분포의 집합을 나타낸다.
• α = 1 인 경우, 극한 클래스는 스펙트럼 측도에 바타 함수와 중심화 항 γ 를 포함하는 추가 적분 조건으로 특성화된다.
• 1 < α < 2 인 경우, 극한 클래스는 L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ cl(S(ℝᵈ)) ∩ I₁⁰(ℝᵈ) 이며, 여기서 I₁⁰(ℝᵈ) 는 유한한 첫 번째 절대 모멘트를 가진 무한히 나누어지는 분포의 집합을 나타낸다.
• 반복된 사상 Φₐ^{m+1} 의 극한은 L^(⟨α⟩)(ℝᵈ) ∩ cl(S(ℝᵈ)) 로 수렴하며, 이는 사상 기반과 극한 정리 기반의 특성화가 일관됨을 확인한다.