[논문 리뷰] Nets of graded $C^*$-algebras over partially ordered sets

S. А. Grigoryan, E. V. Lipacheva외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 09.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 부분순서집합 위의 힐버트 공간 네트워크로부터 생성된 C*-대수의 네트워크를 제안하며, 각 국소 C*-대수가 부분순서집합의 첫 번째 호모토플리 그룹 π₁(K)에 의해 그룹화되어 있음을 보여준다. 이 대수들의 순차적 극한(코로나)이 또한 π₁(K)-그룹화되어 있음을 증명하며, 이러한 네트워크 간의 사상이 π₁에 유도된 호모모르피즘이 임베딩일 경우 그룹화를 유지하는 그룹화된 사상으로 이어진다.

ABSTRACT

The paper deals with $C^*$-algebras generated by a net of Hilbert spaces over a partially ordered set. The family of those algebras constitutes a net of $C^*$-algebras over the same set. It is shown that every such an algebra is graded by the first homotopy group of the partially ordered set. We consider inductive systems of $C^*$-algebras and their limits over maximal directed subsets. We also study properties of morphisms for nets of Hilbert spaces as well as nets of $C^*$-algebras.

연구 동기 및 목표

• 부분순서집합 위의 힐버트 공간 네트워크로부터 C*-대수를 구성하기.
• 이러한 C*-대수가 부분순서집합 K의 첫 번째 호모토플리 그룹 π₁(K)에 의해 그룹화되어 있음을 보여주기.
• 국소 C*-대수의 순차적 극한(코로나)을 정의하고 연구하며, π₁-그룹화가 유지됨을 증명하기.
• 네트워크 간의 사상과 그 그룹화에 대한 행동 분석하기.
• 사상이 그룹화를 유지하는 조건을 설정하기, 특히 π₁에 유도된 사상이 임베딩일 경우에 중점적으로 다루기.

제안 방법

• 순서 관계와 그 역을 사용하여 부분순서집합 K 위의 기본 경로와 고리 정의하기.
• 네 가지 공리(1)–(4)를 통해 구성된 등가관계를 정의하여 연결 가능한 경로를 식별함으로써, K의 경로 반군 구성하기.
• S̃ = S/~의 몫집합을 형성하고, 유도된 곱셈 연산에 의해 그룹로이드가 되도록 하기.
• 고정된 기저점에서의 고리 등가류의 집합으로서 첫 번째 호모토플리 그룹 π₁(K) 정의하기. 그룹 연산은 경로 연결에 의해 유도된다.
• 각 a ∈ K에 대해, π₁(K)에 대한 직합의 닫힘을 이용하여 단위 연산자와 관련된 경로를 사용해 C*-대수 A_a^K 구성하기.
• 부분순서집합 사상 φ: K → L과 그 유도된 대수 사상에 의해 네트워크 간의 사상 정의하기. φ*가 임베딩일 경우 그룹화와의 호환성 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 부분순서집합 K 위의 힐버트 공간 네트워크로부터 C*-대수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 첫 번째 호모토플리 그룹 π₁(K)는 결과 C*-대수의 그룹화에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 국소 C*-대수의 순차적 극한(코로나)은 π₁-그룹화를 어떻게 물려받는가?
• RQ4 네트워크 간의 사상이 π₁-그룹화를 유지하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 π₁에 유도된 호모모르피즘이 단사가 아닐 경우 그룹화는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 각 국소 C*-대수 A_a^K는 부분순서집합 K의 첫 번째 호모토플리 그룹 π₁(K)에 의해 자연스럽게 그룹화되어 있다.
• 국소 C*-대수의 순차적 극한(코로나) 역시 π₁(K)-그룹화되어 있으며, 국소 대수들로부터 유도된 그룹화를 물려받는다.
• 네트워크 간의 사상은 π₁에 유도된 호모모르피즘이 임베딩일 경우에만 대수에 그룹화된 사상으로 이어진다.
• X = Y ∕ {(0,0)} 및 Y가 단위 디스크일 때, φ*는 π₁(X) = ℤ에서 π₁(Y) = {0}으로 사상하며, 유도된 사상 Φ*는 임베딩이 아니므로 π₁-그룹화 유지 조건이 φ*가 단사일 필요가 있음을 보여준다.
• π₁(K) = ℤ일 경우 C*-대수 A_a^K는 단위 이동 연산자로 생성되며 C(S¹)와 동형이 되고, π₁(L)가 자명할 경우 A_x^L는 ℂ와 동형이 되므로, 그룹화가 위상에 따라 달라짐을 설명한다.