[논문 리뷰] Network Reconstruction from Intrinsic Noise

David Hayden, Ye Yuan외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 01.

Gene Regulatory Network Analysis참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 내재된 확률적 노이즈에 의해 구동되는 출력 측정값만으로 알려지지 않은 선형 시간 불변(LTI) 동적 시스템의 네트워크를 재구성하는 문제를 다룬다. 닫힌 루프 전이 행렬이 최소 위상(minimum phase)일 경우, 네트워크 재구성은 출력 스펙트럼 밀도로부터 유일하게 식별 가능하다; 그렇지 않으면, 모든 동치 네트워크는 잠재 상태 수와 동일한 차원을 갖는 단일 대수 Riccati 방정식(Algebraic Riccati Equation, ARE)의 해에 대응하며, 이러한 해의 수는 잠재 상태 수로 제한된다.

ABSTRACT

This paper considers the problem of inferring an unknown network of dynamical systems driven by unknown, intrinsic, noise inputs. Equivalently we seek to identify direct causal dependencies among manifest variables only from observations of these variables. For linear, time-invariant systems of minimal order, we characterise under what conditions this problem is well posed. We first show that if the transfer matrix from the inputs to manifest states is minimum phase, this problem has a unique solution irrespective of the network topology. This is equivalent to there being only one valid spectral factor (up to a choice of signs of the inputs) of the output spectral density. If the assumption of phase-minimality is relaxed, we show that the problem is characterised by a single Algebraic Riccati Equation (ARE), of dimension determined by the number of latent states. The number of solutions to this ARE is an upper bound on the number of solutions for the network. We give necessary and sufficient conditions for any two dynamical networks to have equal output spectral density, which can be used to construct all equivalent networks. Extensive simulations quantify the number of solutions for a range of problem sizes. For a slightly simpler case, we also provide an algorithm to construct all equivalent networks from the output spectral density.

연구 동기 및 목표

• 내재된 노이즈에 의해 구동되는 알려지지 않은 LTI 시스템의 네트워크가 출력 측정값만으로 유일하게 재구성될 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 최소 위상 가정을 완화했을 때, 동일한 출력 스펙트럼 밀도를 생성하는 모든 네트워크의 집합을 특성화하는 것.
• 단순화된 경우에 출력 스펙트럼 밀도로부터 모든 동치 네트워크를 체계적으로 구성하는 방법을 제공하는 것.
• 두 동적 네트워크가 동일한 출력 스펙트럼 밀도를 갖는 데 필요한 필수 및 충분한 조건을 설정하는 것.
• 다양한 문제 크기에서 시뮬레이션을 통해 네트워크 재구성 문제의 해의 수를 정량화하는 것.

제안 방법

• 논문은 관측 가능한 데이터와 기저 네트워크 구조 사이의 관계를 설정하기 위해 출력 파wer 스펙트럼 밀도의 스펙트럼 인수분해를 사용한다.
• 최소 위상 시스템의 경우, 스펙트럼 인수분해는 입력 부호 선택을 제외하고는 유일하므로 네트워크 재구성이 보장된다.
• 비최소 위상 시스템의 경우 문제는 잠재 상태 수와 동일한 차원을 갖는 단일 대수 Riccati 방정식(Algebraic Riccati Equation, ARE)의 해로 축소된다.
• 이 ARE의 해들은 관측된 출력 스펙트럼 밀도와 일치하는 모든 가능한 네트워크에 일대일로 대응한다.
• 저자는 상태공간 표현과 스펙트럼 인수분해 이론을 활용하여, 두 네트워크가 동일한 출력 스펙트럼 밀도를 갖는 데 필요한 필수 및 충분한 조건을 유도한다.
• 단순화된 경우에 모든 동치 네트워크를 구성하는 알고리즘을 제시하며, 이는 스펙트럼 밀도와 ARE 해의 구조에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내재된 노이즈에 의해 구동되고 출력 측정값만 제공되는 경우, 네트워크 재구성 문제가 잘 정의되어 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 주어진 시스템과 동일한 출력 스펙트럼 밀도를 생성할 수 있는 모든 네트워크의 집합은 무엇인가?
• RQ3 네트워크 재구성 문제의 해의 수는 시스템 구조와 잠재 상태에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 문제는 단일 대수 Riccati 방정식(Algebraic Riccati Equation, ARE)의 해로 축소될 수 있으며, 이는 식별 가능성에 대해 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 두 개별적인 동적 네트워크가 출력 스펙트럼 밀도 측면에서 관측적으로 동치가 되기 위한 필요 및 충분한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 닫힌 루프 전이 행렬이 최소 위상일 경우, 네트워크 재구성 문제는 유일한 해를 갖는다. 즉, 네트워크 구조는 출력 스펙트럼 밀도로부터 유일하게 식별 가능하다.
• 비최소 위상 시스템의 경우, 동치 네트워크의 수는 단일 대수 Riccati 방정식(Algebraic Riccati Equation, ARE)의 해의 수로 제한되며, ARE의 차원은 잠재 상태 수와 같다.
• 동일한 출력 스펙트럼 밀도를 갖는 모든 네트워크는 동일한 ARE의 서로 다른 해에 대응하며, 이는 관측적 동치성의 완전한 특성화를 제공한다.
• 논문은 단순화된 경우에 출력 스펙트럼 밀도로부터 모든 동치 네트워크를 생성하는 구성적 알고리즘을 제공한다.
• 시뮬레이션 결과, 해의 수는 시스템 크기에 따라 증가하지만 유한하며, ARE 해의 수로 엄격하게 제한됨을 보여준다.
• 이론적 프레임워크는 두 네트워크가 동일한 출력 스펙트럼 밀도를 갖는다 하는 것은 그들의 상태공간 표현이 ARE에서 유도된 특정 스펙트럼 인수분해 및 행렬 등식 조건을 만족할 때에만 가능하다는 것을 증명한다.