[논문 리뷰] Network Rewriting I: The Foundation

Lars Hellström|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 11.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 방향성 있는 비순환 그래프(네트워크) 기반의 네트워크 재작성 프레임워크를 제안하여 다중선형 대수의 표현을 형식화한다. 기존의 트리 기반 표현을 비가환성 및 텐서 구조를 다룰 수 있도록 일반화한다. PROP 공리가 네트워크 평가 과정에 내재되어 있음을 입증하고, 부분식의 대수적 및 그래프 이론적 특성으로 서술된 재작성 이론을 수립하며, 다이아몬드 보조정리(Diamond Lemmas)를 증명하고, '랩 애매함(wrap ambiguity)'이라는 새로운 종류의 확률성 상실 장애를 규명한다.

ABSTRACT

A theory is developed which uses "networks" (directed acyclic graphs with some extra structure) as a formalism for expressions in multilinear algebra. It is shown that this formalism is valid for arbitrary PROPs (short for 'PROducts and Permutations category'), and conversely that the PROP axioms are implicit in the concept of evaluating a network. Ordinary terms and operads constitute the special case that the graph underlying the network is a rooted tree. Furthermore a rewriting theory for networks is developed. Included in this is a subexpression concept for which is given both algebraic and effective graph-theoretical characterisations, a construction of reduction maps from rewriting systems, and an analysis of the obstructions to confluence that can occur. Several Diamond Lemmas for this rewriting theory are given. In addition there is much supporting material on various related subjects. In particular there is a "toolbox" for the construction of custom orders on the free PROP, so that an order can be tailored to suit a specific rewriting system. Other subjects treated are the abstract index notation in a general PROP context and the use of feedbacks (sometimes called traces) in PROPs.

연구 동기 및 목표

• 비가환성 및 텐서 구조를 다룰 수 있도록 기존의 루트가 있는 트리 기반 표현을 일반화한 다중선형 대수 표현의 형식적 체계를 개발하는 것.
• PROP 공리가 네트워크 평가 과정에 암묵적으로 내장되어 있음을 보여주는 것.
• 부분식의 대수적 및 그래프 이론적 특성으로 기술된 네트워크를 위한 재작성 이론을 구축하는 것.
• 확률성 상실의 장애를 분석하며, 특히 '랩 애매함(wrap ambiguity)'이라 불리는 새로운 유형의 애매함을 규명하는 것.
• 특정 재작성 시스템에 맞게 자유 PROP에 대한 맞춤형 순서를 지원하기 위한 도구를 제공하는 것.

제안 방법

• 다중선형 대수의 형식적 표현으로서 추가 구조를 가진 방향성 있는 비순환 그래프(네트워크)를 사용한다.
• 부분식을 대수적 조건과 그래프 이론적 성질(예: 도달 가능성, 연결 성분 등)을 통해 정의한다.
• 구조적 의존성을 추적하기 위해 전이 유형(transference types)을 사용하여 재작성 시스템으로부터 감소 맵(reduction maps)을 구성한다.
• 특정 재작성 시스템에 맞게 자유 PROP에 대한 맞춤형 순서를 정의하기 위한 도구 상자를 제안한다.
• 일반적인 PROP 프레임워크 내에서 추상 색인 표기법과 피드백(트레이스) 연산을 적용한다.
• 특정 조건 하에서 확률성 상실을 보장하기 위해 여러 다이아몬드 보조정리를 증명하며, 특히 잘 행동하는 재작성 시스템에 대해 유용하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 텐서 곱과 비가환 연산을 다룰 수 있도록 루트가 있는 트리 구조를 초월한 다중선형 대수 표현은 어떻게 형식화할 수 있는가?
• RQ2 PROP 공리와 네트워크 기반 표현의 평가 간 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 부분식이 대수적으로도, 그래프 이론적으로도 잘 정의된 네트워크를 위한 재작성 체계는 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 네트워크 재작성에서 발생하는 새로운 종류의 확률성 상실 장애는 무엇이며, 기존의 겹침 및 포함 애매함과 어떻게 다를까?
• RQ5 자유 PROP에 대한 맞춤형 순서를 체계적으로 구성하여 재작성 시스템에서 정지성과 확률성 상실을 지원할 수 있는가?

주요 결과

• 네트워크의 형식적 체계는 임의의 PROP 구조를 포괄하며, PROP 공리가 네트워크 평가 과정에 암묵적으로 내장되어 있음을 입증한다.
• 이론은 비트리 그래프를 允허함으로써 기존의 용어 재작성 이론을 일반화하며, 양자 회로나 호프 대수와 같은 구조의 표현이 가능해진다.
• 새로운 애매함 유형인 '랩 애매함(wrap ambiguity)'이 규명되었으며, 이는 규칙들이 서로를 감싸지만 겹치지 않아, 더 이상 단순화되지도 않고 동치가 되지 않는 감소를 유도한다.
• 부분식 개념은 대수학적 특성(호모모르피즘을 통한 정의)과 그래프 이론적 특성(도달 가능성 및 성분 구조)을 모두 통해 기술된다.
• 감소 맵는 전이 유형을 사용하여 재작성 시스템으로부터 구성되며, 재작성 과정에서의 구조적 의존성을 정확히 추적할 수 있다.
• 여러 개의 다이아몬드 보조정리가 증명되었으며, 이는 네트워크 재작성 프레임워크에서 확률성 상실을 보장하는 충분한 조건을 제공한다.