[논문 리뷰] Neural networks meet anisotropic hyperelasticity: A framework based on generalized structure tensors and isotropic tensor functions

Karl A. Kalina, Jörg Brummund외 2명|arXiv (Cornell University)|2024. 10. 04.

Elasticity and Material Modeling인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 구조 텐서와 등방성 불변량을 사용하여 이방성 초탄성 재료를 모델링하기 위한 물리학 증강 신경망(PANN) 프레임워크를 제안한다. 변형 불변량에서 에너지 기반 모델을 구성하고 아키텍처 및 정규화를 통해 물리 원리를 강제함으로써, 낮은 데이터로도 높은 정확도를 달성하며, 특히 섬유 강화 복합재와 같은 복잡한 미세구조에서 보간 및 외삽 성능이 컴ponent 기반 네트워크를 뛰어넘는다.

ABSTRACT

We present a data-driven framework for the multiscale modeling of anisotropic finite strain elasticity based on physics-augmented neural networks (PANNs). Our approach allows the efficient simulation of materials with complex underlying microstructures which reveal an overall anisotropic and nonlinear behavior on the macroscale. By using a set of invariants as input, an energy-type output and by adding several correction terms to the overall energy density functional, the model fulfills multiple physical principles by construction. The invariants are formed from the right Cauchy-Green deformation tensor and fully symmetric 2nd, 4th or 6th order structure tensors which enables to describe a wide range of symmetry groups. Besides the network parameters, the structure tensors are simultaneously calibrated during training so that the underlying anisotropy of the material is reproduced most accurately. In addition, sparsity of the model with respect to the number of invariants is enforced by adding a trainable gate layer and using lp regularization. Our approach works for data containing tuples of deformation, stress and material tangent, but also for data consisting only of tuples of deformation and stress, as is the case in real experiments. The developed approach is exemplarily applied to several representative examples, where necessary data for the training of the PANN surrogate model are collected via computational homogenization. We show that the proposed model achieves excellent interpolation and extrapolation behaviors. In addition, the approach is benchmarked against an NN model based on the components of the right Cauchy-Green deformation tensor.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 미세구조를 가진 재료에서 다스케일 유한 변형 탄성의 데이터 기반 프레임워크를 개발한다.
• 구조적이고 물리적 원칙—대상성, 재료 대칭성, 열역학적 일관성—을 신경망 모델이 설계 단계에서 충족하도록 보장한다.
• 불변량 기반 입력과 훈련 가능한 구조 텐서를 활용하여, 스트레스-변형 쌍만 포함된 희소한 실험 또는 시뮬레이션 데이터로부터 효율적인 학습을 가능하게 한다.
• ℓp 정규화를 갖는 훈련 가능한 게이트 레이어를 통해 모델의 희소성을 달성함으로써, 정확도를 희생시키지 않은 채 활성 불변량의 수를 감소시킨다.
• 컴ponent 기반 신경망과의 성능 비교를 통해, 더 뛰어난 일반화 및 강인성을 입증한다.

제안 방법

• 오른쪽 카우치-그린 텐서와 완전 대칭인 2차, 4차 또는 6차 구조 텐서에서 유도된 불변량을 사용하여 재료의 이방성 특성을 인코딩한다.
• 신경망은 이러한 불변량의 함수로 변형 에너지 밀도를 출력하며, 설계 단계에서 열역학적 일관성과 대상성을 보장한다.
• ℓp 정규화(p = 1/4)를 갖는 훈련 가능한 게이트 레이어는 훈련 중에 불필요한 불변량을 식별하고 억제함으로써 희소성을 강제한다.
• 구조 텐서는 동시에 훈련 도중에 조정되어 재료의 기하학적 이방성 특성을 정확히 표현한다.
• 손실 함수는 스트레스 및 재료 탄성 계수 예측 손실(0.7σ + 0.3c)을 조합하고, 조정 가능한 가중치를 갖는 게이트 정규화 항을 포함하여 희소성과 정확도의 균형을 이룬다.
• 모델은 대표 체적 요소(RVEs)의 수치 체화에서 유도된 데이터로 훈련되며, 변형-응력 쌍만 포함된 경우도 포함된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불변량 기반 입력과 구조 텐서를 사용하여 물리학 증강 신경망이 복잡한 이방성 초탄성 거동을 정확히 포착할 수 있는가?
• RQ2 훈련 가능한 구조 텐서의 포함이 모델의 재료 대칭성 및 이방성 표현 능력을 얼마나 향상시키는가?
• RQ3 ℓp 정규화를 갖는 훈련 가능한 게이트 레이어가 예측 정확도를 유지하면서 모델 복잡성을 얼마나 줄이는가?
• RQ4 불변량 기반 PANN은 컴ponent 기반 신경망과 비교해 보았을 때 보간 및 외삽 성능에서 어떤가?
• RQ5 예를 들어 변형과 응력 쌍만 포함된 희소한 데이터로 훈련되었을 때, 이 프레임워크는 효과적으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 2개의 은닉층(각각 16개 뉴런)으로 구성된 불변량 기반 PANN은 5개 RVE 중 4개에서 손실이 1×10⁻⁴ 이하로 달성되었으며, 좌표 기반 모델는 3개의 은닉층이 필요했고 여전히 5×10⁻³ 이하 수렴에 실패했다.
• 입방 대칭 구를 가진 RVE의 경우, 불변량 기반 모델은 2개 이상의 은닉층으로 손실이 1×10⁻⁴ 이하로 달성되었고, 좌표 기반 모델는 64개 뉴런 이상일 때도 유의미한 향상 없이 그대로였다.
• wgate = 5×10⁻⁵로 설정된 훈련 가능한 게이트 레이어가 모든 RVE에서 활성 불변량 수를 성공적으로 감소시켰으며, 예측 성능 저하 없이 수행되었다.
• 모델는 뛰어난 외삽 성능을 보였으며, 훈련 분포 외부의 변형 상태에서도 높은 정확도를 유지했다.
• 특히 섬유 강화 복합재와 같이 복잡한 이방성을 가진 재료에서 컴ponent 기반 네트워크보다 정확도와 데이터 효율성 면에서 뛰어난 성능을 보였다.
• 일반화된 구조 텐서의 사용은 전방위적 대칭군, 특히 축대칭 및 입방 대칭까지도 고정밀도로 표현할 수 있게 하였다.