[논문 리뷰] Nevanlinna representations in several variables

Jim Agler, Ryan Tully‐Doyle외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 10.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 상반평면에서 허수부가 음이 아닌 함수에 대한 네바린나의 고전적 적분 표현 정리들을 다변수로 일반화한다. 밀도적으로 정의된 자기수반 연산자와 양의 수축을 사용하여 다항상반평면에서 로이너 클래스에 속하는 함수에 대한 네바린나 유형의 표현을 네 가지 유형으로 도입하고, 각 표현 유형이 성립하기 위한 필요 및 충분한 점근적 성장 조건을 확립한다.

ABSTRACT

We generalize two integral representation formulae of Nevanlinna to functions of several variables. We show that for a large class of analytic functions that have non-negative imaginary part on the upper polyhalfplane there are representation formulae in terms of densely defined self-adjoint operators on a Hilbert space. We introduce three types of structured resolvent of a self-adjoint operator and identify four different types of representation in terms of these resolvents. We relate the types of representation that a function admits to its growth at infinity.

연구 동기 및 목표

• 피크-클래스 함수에 대한 네바린나의 고전적 적분 표현 정리를 다변수 환경으로 확장하기 위해.
• 다항상반평면에서 허수부가 음이 아닌 해석적 함수에 대한 네바린나 유형의 표현을 네 가지 다른 유형으로 정의하고 특성화하기 위해.
• 함수 이론적 조건—특히 무한대에서의 점근적 성장 조건—이 각각의 네 가지 표현 유형을 갖기 위한 필요 및 충분 조건을 규명하기 위해.
• 자기수반 연산자와 항등원으로 합이 1이 되는 양의 수축을 포함한 구조적 해리솔브트 연산자와의 대응관계를 설정하기 위해.

제안 방법

• 밀도적으로 정의된 자기수반 연산자 $ A $, 합이 1이 되는 양의 수축 $ Y_j $, 그리고 $ v \in \mathcal{H} $ 를 갖는다. 이때 $ h(z_1,\dots,z_n) = \langle (A - z_1Y_1 - \cdots - z_nY_n)^{-1}v, v \rangle_{\mathcal{H}} $ 를 통해 다변수 코시 변환의 유사체를 제안한다.
• 로이너 클래스 $ \mathcal{L}_n $ 을 상반평면 $ \Pi^n $ 에서 정의된 해석적 함수들의 집합으로 정의한다. 이는 일반화된 피크 조건: $ h(z) - \overline{h(w)} = \sum_{j=1}^n (z_j - \overline{w_j}) A_j(z,w) $ 를 만족하며, $ A_j $ 는 양의 준정부정이다.
• 다른 연산자 구조와 정의도메인 가정에 기반하여 네 가지의 구분된 표현 유형을 유도한다. 특히 유계 및 비유계 연산자를 포함하는 표현을 구분한다.
• 함수가 주어진 유형의 표현을 갖기 위한 필요 및 충분 조건은 $ \mathcal{L}_n $ 에 속하고, 무한대에서 특정 성장 조건을 만족하는 것이다. 예를 들어 $ \liminf_{y \to \infty} y |h(iy,\dots,iy)| < \infty $ 와 같은 조건이다.
• 해리솔브트 항등식을 이용하여 해리솔브트 차이에 대한 연산자 이론적 항등식을 도출함으로써 적분 표현의 구성이 가능해진다.
• 다각형의 다항판에서의 슈어 클래스와 다항상반평면에서의 피크 클래스 사이의 변환 기법을 적용하여 고전적 두 변수 결과를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허수부가 음이 아닌 함수에 대한 네바린나의 고전적 적분 표현의 다변수 유사체는 무엇인가?
• RQ2 연산자 이론적 프레임워크를 사용하여 다변수 복소함수에서 코시 변환을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 함수가 다변수에서 네바린나 유형의 표현을 갖기 위한 필요 및 충분한 함수 이론적 조건—특히 무한대에서의 성장 조건—은 무엇인가?
• RQ4 네 가지의 구분된 네바린나 표현 유형은 연산자 구조와 정의도메인 가정 측면에서 어떻게 다를까?
• RQ5 고전적 해리솔브트 항등식을 다변수 환경으로 일반화하는 구조적 해리솔브트 항등식을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 함수 $ h $ 가 $ \Pi^n $ 에서 $ h(z) = \langle (A - z_1Y_1 - \cdots - z_nY_n)^{-1}v, v \rangle_{\mathcal{H}} $ 의 형태로 표현될 수 있음은 $ h \in \mathcal{L}_n $ 이고 $ \liminf_{y \to \infty} y |h(iy,\dots,iy)| < \infty $ 를 만족할 때에 한하여 성립하며, 이는 네바린나의 일변수 결과를 일반화한다.
• 네 가지의 네바린나 표현 유형은 각각 다른 연산자 정의도메인 조건과 무한대에서의 성장 행동 조합에 의해 완전히 특성화되어 있으며, 각 유형은 서로 다른 구조적 해리솔브트 연산자 클래스에 대응한다.
• 로이너 클래스 $ \mathcal{L}_n $ 이 피크 클래스 $ \mathcal{P} $ 의 자연스러운 다변수 유사체임이 입증되었으며, 일반화된 피크 조건 $ h(z) - \overline{h(w)} = \sum_{j=1}^n (z_j - \overline{w_j}) A_j(z,w) $ 는 $ \mathcal{L}_n $ 에 속하는 것과 동치이다.
• 성장 조건 $ \liminf_{y \to \infty} y |h(iy,\dots,iy)| < \infty $ 는 다변수 환경에서 코시 유형 표현의 존재성에 대해 필수적이고 충분한 조건임이 입증되었다.
• 구조적 해리솔브트 항등식이 도출되었으며, 예를 들어 $ (A - z_Y)^{-1} - (A - w_Y)^{-1} = (A - z_Y)^{-1}(z - w)_Y(A - w_Y)^{-1} $ 와 같은 식이 고전적 해리솔브트 항등식을 일반화한다.
• 모든 이러한 표현에 대해, 어떤 $ C > 0 $ 에 대해 $ |h(z)| \leq C\left(1 + \|z\|_1 + \frac{1 + \|z\|_1^2}{\min_j \operatorname{Im} z_j}\right) $ 의 점별 추정식이 성립함을 증명하여 다항식 유형의 성장 통제가 확인된다.