[논문 리뷰] New action for the Hilbert-Einstein equations

Людвиг Дмитриевич Фаддеев|ArXiv.org|2009. 06. 25.

Relativity and Gravitational Theory참고 문헌 4인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 4차원 시공간을 10차원 유클리드 공간에 매립하고 1형식을 전체 공변 벡터 장으로 승격시킴으로써 힐버트-아인슈타인 방정식에 대한 새로운 작용 원리를 제안한다. 보조 반대칭 텐서 장 $ B^{\mu\nu,A} $ 를 도입함으로써 변분 방정식에 추가 도함수가 나타나지 않는 표준 아인슈타인 방정식을 도출할 수 있으며, 물리적 내용은 유지하면서 수학적 구조를 수정하는 기하학적 재구성 가능성을 제공한다.

ABSTRACT

The Hilbert-Einstein equations are derived in the formalism employing the imbedding of the space-time into linear 10-dimensional space. An extra antisymmetric tensor field is needed for this task.

연구 동기 및 목표

• 시공간을 10차원 유클리드 공간에 매립함으로써 아인슈타인 중력 이론을 재구성하는 것.
• 레지-타이텔보임과 같은 이전 접근 방식에서 나타나는 변분 방정식에 대한 문제적 추가 도함수를 제거하는 것.
• 공변 벡터 장과 BF형 보조 장을 포함한 기하학적 작용에서 힐버트-아인슈타인 방정식을 유도하는 것.
• 일반 상대성 이론의 물리적 내용은 유지하면서 수학적 표현 방식을 변화시키는 새로운 변분 프레임워크를 탐색하는 것.
• 디라크와 암드의 해밀토니안 형식과 호환되는 해밀토니안 제작을 위한 기초를 마련하는 것(다만 이는 향후 연구를 위한 열린 문제이다).

제안 방법

• 좌표 $ f^A(x^\mu) $ 를 통해 4차원 시공간 $ M^4 $ 을 10차원 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^{10} $ 에 매립하고, 유도된 계량장 $ g_{\mu\nu} = \partial_\mu f^A \partial_\nu f^A $ 를 정의한다.
• 매립된 다양체의 법선 공간으로의 투영을 위해 프로젝터 $ \Pi^{AB} = \delta^{AB} - g^{\lambda\sigma} f_\lambda^A f_\sigma^B $ 를 도입한다.
• 리만 곡률 텐서를 $ R_{\mu\nu,\alpha\beta} = \Pi^{AB}(f_{\mu\alpha}^A f_{\nu\beta}^B - f_{\nu\alpha}^A f_{\mu\beta}^B) $ 로 정의하며, 이는 $ f^A $ 의 두 번째 도함수에 대해 이차형이다.
• 작용 라그랑지안 $ \mathcal{L} = \sqrt{g} R $ 을 사용하며, 여기서 $ g $ 와 $ R $ 은 $ f^{\mu A} = g^{\mu\nu} f_\nu^A $ 의 반대칭 벡터 장으로 표현된다.
• 적분 가능성 조건을 강제하기 위해 BF형 항 $ \mathcal{L}_1 = B^{\mu\nu,A}(\partial_\mu f_\nu^A - \partial_\nu f_\mu^A) $ 을 도입하여 보조 반대칭 텐서 장 $ B^{\mu\nu,A} $ 를 도입한다.
• 전체 작용을 $ f^{\mu A} $ 와 $ B^{\mu\nu,A} $ 에 대해 변분하여, 보조 장 $ B $ 에 기인한 항이 포함된 힐버트-아인슈타인 방정식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변분 방정식에 추가 도함수가 나타나지 않는 10차원 매립 형식론에서 힐버트-아인슈타인 방정식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 보조 반대칭 텐서 장 $ B^{\mu\nu,A} $ 의 도입이 일반 상대성 이론의 물리적 내용을 유지하면서도 운동 방정식의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 프로젝터 $ \Pi^{AB} $ 는 곡률 표현식에서 물리적으로 의미 없는 항을 제거하고 공변성 보장을 위해 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 $ f^{\mu A} $ 장에 기반한 변분 원리가 디라크와 암드의 표준 해밀토니안 형식과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 운동 방정식을 도입한 후에도 남아 있는 $ B $-장의 자유도는 어떤 물리적 해석을 가질 수 있는가?

주요 결과

• 곡률 텐서 $ R_{\mu\nu,\alpha\beta} $ 는 $ f^A $ 의 두 번째 도함수에 대해 이차형으로 표현되며, 세 번째 도함수 항들이 상쇄되어 잘 정의된 변분 원리가 보장된다.
• $ \int \sqrt{g} R \, d^4x $ 의 작용 변분은 리치 텐서 $ R_{\alpha\mu} $ 와 스칼라 곡률 $ R $ 을 포함하며, 보조 장 $ B $ 에 기인한 추가 항 $ T_{\alpha\mu} $ 도 포함한다.
• 전체 방정식계는 $ R_{\alpha\mu} - \frac{1}{2} g_{\alpha\mu} R + T_{\alpha\mu} = 0 $ 의 형태로 힐버트-아인슈타인 방정식으로 축소되며, 여기서 $ T_{\alpha\mu} $ 는 $ B $-장의 발산에 의해 기인한다.
• 프로젝터 $ \Pi^{AB} $ 는 좌표 변환에 기인한 물리적으로 의미 없는 항이 사라지게 하여 미분 동형성 보존에 기여한다.
• 방정식을 풀어낸 후에도 조건 $ \Pi^{AB} \partial_\mu B^{\mu\nu,B} = 0 $ 이 유지되며, 이는 $ \partial_\mu B^{\mu\nu,B} $ 의 탄성 성분만이 역학적 자유도를 가지는 것을 시사한다.
• 이 형식론은 레지-타이텔보임의 접근 방식에서 나타나는 추가 도함수 문제를 BF형 항을 통해 적분 가능성 조건을 강제함으로써 성공적으로 피할 수 있다.