[논문 리뷰] New Algebraic Properties of Middle Bol Loops

Temitope Gbolahan Jaiyédolá, Sunday Peter David외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 28.

Mathematics and Applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 네 개의 이변수 사상 $f_i, g_i$ ($i=1,2$)와 네 개의 $j$-변수 사상 $α_j, β_j, φ_j, ψ_j$ ($j\in\mathbb{N}$)를 정의하여 중간 볼 루프의 새로운 대수적 성질을 도입한다. 중간 볼 루프가 탄성, RIP, LIP, 대체 성질, 거듭제곱-결합성과 같은 핵심 루프 성질을 만족하기 위한 필요 및 충분 조건을 이러한 사상에 대해 수립한다. 주요 기여는 이러한 사상과 항등식을 사용하여 중간 볼 루프가 군, 무방프 루프 또는 추가 루프가 되는 조건을 완전히 특성화한 것이다.

ABSTRACT

A loop $(Q,\cdot,\backslash,/)$ is called a middle Bol loop if it obeys the identity $x(yz\backslash x)=(x/z)(y\backslash x)$. In this paper, some new algebraic properties of a middle Bol loop are established. Four bi-variate mappings $f_i,g_i,~i=1,2$ and four $j$-variate mappings $α_j,β_j,ϕ_j,ψ_j,~j\in\mathbb{N}$ are introduced and some interesting properties of the former are found. Neccessary and sufficient conditons in terms of $f_i,g_i,~i=1,2$, for a middle Bol loop to have the elasticity property, RIP, LIP, right alternative property (RAP) and left alternative property (LAP) are establsihed. Also, neccessary and sufficient conditons in terms of $α_j,β_j,ϕ_j,ψ_j,~j\in\mathbb{N}$, for a middle Bol loop to have power RAP and power LAP are establsihed. Neccessary and sufficient conditons in terms of $f_i,g_i,~i=1,2$ and $α_j,β_j,ϕ_j,ψ_j,~j\in\mathbb{N}$, for a middle Bol loop to be a group, Moufang loop or extra loop are established. A middle Bol loop is shown to belong to some classes of loops whose identiites are of the J.D. Phillips' RIF-loop and WRIF-loop (generalizations of Moufang and Steiner loops) and WIP power associative conjugacy closed loop types if and only if some identities defined by $g_1$ and $g_2$ are obeyed.

연구 동기 및 목표

• 중간 볼 루프, 즉 $x(yz\\backslash x) = (x/z)(y\\backslash x)$ 를 만족하는 비결합 루프의 클래스에 대한 새로운 대수적 성질을 조사하고 수립한다.
• 이중 변수 사상 $f_i, g_i$ ($i=1,2$)와 $j$-변수 사상 $\alpha_j, \beta_j, \phi_j, \psi_j$ ($j\in\mathbb{N}$)를 정의하고 분석하여 구조적 항등식을 연구한다.
• 탄성, RIP, LIP, 대체 성질과 같은 기본 루프 성질을 만족하기 위한 이러한 사상에 기반한 필요 및 충분 조건을 유도한다.
• 제안된 사상과 항등식을 사용하여 중간 볼 루프가 군, 무방프 루프 또는 추가 루프가 되는 조건을 특성화한다.
• 특정 조건 하에서 $g_1$과 $g_2$를 포함한 항등식을 통해 중간 볼 루프와 일반화된 루프 클래스(예: RIF-루프, WRIF-루프, WIP 거듭제곱-결합성 코어치드 루프) 간의 관계를 탐색한다.

제안 방법

• 루프 항등식을 분석하기 위해 네 개의 이변수 사상 $f_1(x,y) = x\\backslash(xy)$, $f_2(x,y) = (xy)\\backslash x$, $g_1(x,y) = xy\\backslash x$, $g_2(x,y) = x\\backslash(yx)$ 를 도입한다.
• 거듭제곱-결합성 및 거듭제곱-대체 항등식을 연구하기 위해 $j\in\mathbb{N}$ 에 대해 네 개의 $j$-변수 사상 가족 $\alpha_j, \beta_j, \phi_j, \psi_j$ 를 정의한다.
• 중간 볼 항등식 $x(yz\\backslash x) = (x/z)(y\\backslash x)$ 를 기초 항등식으로 삼아 다른 루프 성질에 대한 함의를 도출한다.
• 함수 방정식을 포함한 $f_i$와 $g_i$ 를 사용하여 루프 성질(예: 탄성, RIP, LIP, RAP, LAP)에 대한 필요 및 충분 조건을 수립한다.
• 특정 가정 하에서 다수의 루프 항등식(예: 5-루프 항등식)이 서로 동치임을 증명하기 위해 재귀적 치환과 사상 항등식을 사용한다.
• 중간 볼 루프가 군, 무방프 루프 또는 추가 루프가 되는 것은 특정 $f_i, g_i, \alpha_j, \beta_j, \phi_j, \psi_j$ 를 포함한 항등식이 만족될 때이고 그뿐이면 된다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중간 볼 루프가 탄성 성질을 가지기 위한 $f_i, g_i$ ($i=1,2$) 에 대한 필요 및 충분 조건은 무엇인가요?
• RQ2 우측 역원 성질(RIP)과 좌측 역원 성질(LIP)은 사상 $f_i$와 $g_i$ 를 통해 어떻게 특성화될 수 있나요?
• RQ3 자기 $\alpha_j, \beta_j, \phi_j, \psi_j$ ($j\in\mathbb{N}$) 에 대한 어떤 조건이 중간 볼 루프가 우측 거듭제곱 대체 성질(PRAP) 또는 좌측 거듭제곱 대체 성질(PLAP)을 만족하도록 보장합니까?
• RQ4 중간 볼 루프가 군, 무방프 루프 또는 추가 루프가 되는 조건은 제안된 사상으로 어떻게 특성화되나요?
• RQ5 $g_1$과 $g_2$ 를 포함한 어떤 항등식이 중간 볼 루프가 RIF-루프, WRIF-루프 또는 WIP 거듭제곱-결합성 코어치드 루프와 같은 클래스에 속하는지를 결정합니까?

주요 결과

• 중간 볼 루프가 탄성 성질을 가질 때이고 오직 그 때에만 $g_1(x,y) = g_1(x,xy)\cdot x$ 이다.
• 중간 볼 루프에서 우측 역원 성질(RIP)이 성립할 때이고 오직 그 때에만 $f_1(x,y) = f_1(x,xy)\cdot x$ 이다.
• 중간 볼 루프에서 좌측 역원 성질(LIP)이 성립할 때이고 오직 그 때에만 $f_2(x,y) = f_2(x,xy)\cdot x$ 이다.
• 우측 대체 성질(RAP)은 $g_2(x,y) = g_2(x,xy)\cdot x$ 와 동치이다.
• 좌측 대체 성질(LAP)은 $g_1(x,y) = g_1(x,xy)\cdot x$ 와 동치이다.
• 중간 볼 루프가 군이 되는 것은 $f_1(x,y) = f_2(x,y)$ 이고 $g_1(x,y) = g_2(x,y)$ 를 모든 $x,y\in Q$ 에 대해 만족할 때이고, 오직 그 때에만 성립한다; 무방프 루프가 되는 것은 $g_1(x,y) = g_2(x,y)$ 이고 $f_1(x,y) = f_2(x,y)$ 를 만족할 때이며, 추가 루프가 되는 것은 $f_1(x,y) = f_2(x,y)$ 이고 $g_1(x,y) = g_2(x,y)$ 가 성립할 뿐 아니라 추가 항등식도 만족할 때이다.