[논문 리뷰] New analysis of Galerkin-mixed FEMs for incompressible miscible flow in porous media

Weiwei Sun, Chengda Wu|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 12.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 37인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다공성 매질 내 비압축성 혼합 흐름에 적용된 갈레르킨-믹스드 유한요소법(FEM)에 대해 새로운 조건 없는 최적 오차 분석을 제안한다. 기존에는 시간 및 메시 조건이 제한적인 상황에서만 알려진 일계 정확도에 비해, 새로운 준-프로젝션 기법을 사용하여 최저계수 방법에서 농도의 두 번째 계수 $L^2$-노름 정확도를 확립한다.

ABSTRACT

Analysis of Galerkin-mixed FEMs for incompressible miscible flow in porous media has been investigated extensively in the last several decades. Of particular interest in practical applications is the lowest-order Galerkin-mixed method, { in which a linear Lagrange FE approximation is used for the concentration and the lowest-order Raviart-Thomas FE approximation is used for the velocity/pressure. The previous works only showed the first-order accuracy of the method in $L^2$-norm in spatial direction,} which however is not optimal and valid only under certain extra restrictions on both time step and spatial mesh. In this paper, we provide new and optimal $L^2$-norm error estimates of Galerkin-mixed FEMs for all three components in a general case. In particular, for the lowest-order Galerkin-mixed FEM, we show unconditionally the second-order { accuracy in $L^2$-norm} for the concentration. Numerical results for both two and three-dimensional models are presented to confirm our theoretical analysis. More important is that our approach can be extended to the analysis of mixed FEMs for many strongly coupled systems to obtain optimal error estimates for all components.

연구 동기 및 목표

• 기존 분석에서 최저계수 갈레르킨-믹스드 FEM의 농도에 대해 첫 번째 계수 정확도만 확보한 장기적인 한계를 해결한다.
• 오차 추정의 유효성을 제한하던 시간 간격과 공간 메시 크기 조건에 대한 제약 조건을 제거한다.
• 강하게 결합된 비선형 포아송형 편미분방정식계에서 농도, 속도, 압력의 모든 구성 요소에 대한 최적 오차 경계 유도를 위한 새로운 이론적 프레임워크를 제공한다.
• 특히 널리 사용되는 최저계수 방법에 대해 농도의 $L^2$-노름에서 조건 없이 최적 수렴 속도를 확립한다.
• 분석을 고차원 근사 및 3차원 문제로 확장하여 강건성과 일반성을 확인한다.

제안 방법

• 농도의 오차 분석을 속도 및 압력 필드로부터 분리하기 위해 새로운 준-프로젝션 기법을 도입한다.
• 농도에 대해 선형 라그랑주 요소($V_h^1$)와 속도/압력에 대해 최저계수 라비아르트-톰슨 요소($Σ_h^0$)를 사용한 갈레르킨-믹스드 FEM를 적용한다.
• 시간에 대해 반명시적 오일러 스킴을 사용하고, 농도 $c$, 속도 $¹u$, 압력 $p$의 세 변수에 대해 $L^2$-노름 오차 추정을 유도한다.
• 오차 경계 $\|c^n - \mathcal{C}_h^n\|_{L^2} \leq C(h^{r+1} + \tau)$ 를 확립하여, $r=1$인 최저계수 경우에 최적의 $O(h^2)$ 수렴을 보여준다.
• 이전 연구에서 요구되었던 메시 크기 조건 $h_c^{-1}h_p^{k+1} = o(1)$ 및 시간 간격 제약 $\tau = o(h)$ 가 더 이상 필요하지 않음을 증명한다.
• 매끄럽고 불연속적인 계수를 가진 2D 및 3D 영역에서의 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제한적인 시간 간격 또는 메시 크기 조건 없이 갈레르킨-믹스드 FEM의 모든 구성 요소에 대해 최적의 $L^2$-노름 오차 추정을 유도할 수 있는가?
• RQ2 최저계수 갈레르킨-믹스드 FEM에서 농도의 두 번째 계수 수렴이 조건 없이 달성 가능한가?
• RQ3 제안된 준-프로젝션 기법은 다른 강하게 결합된 비선형 포아송형 시스템으로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 속도 및 압력이 낮은 계수 요소로 근사되더라도 농도의 정확도는 여전히 최적인가?
• RQ5 매끄럽고 불연속적인 매질에서 2D 및 3D 설정에서 이론적 오차 경계는 수치 결과와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 논문은 시간 간격 또는 메시 크기 제약 없이 농도, 속도, 압력의 모든 세 구성 요소에 대해 조건 없는 최적 $L^2$-노름 오차 추정을 확립한다.
• 최저계수 갈레르킨-믹스드 FEM($r=1, k=0$)의 경우, 농도는 공간에서 두 번째 계수 정확도, 즉 $O(h^2)$를 달성하며, 이는 일반 조건 하에서 이전에 증명되지 않은 최적 수렴이다.
• 2D 및 3D에서의 수치 결과는 이론적 수렴 속도를 확인한다: 농도의 경우 두 번째 계수($h^2$), 속도 및 압력의 경우 첫 번째 계수($h$)이며, 2D에서 관측된 수렴 차수는 각각 2.01 및 1.99, 3D에서는 2.01을 기록한다.
• 이전 연구에서 요구되었던 메시 크기 조건 $h_c^{-1}h_p^{k+1} = o(1)$ 및 시간 간격 제약 $\tau = o(h)$ 는 더 이상 필요하지 않다.
• 제안된 준-프로젝션 방법은 결합된 시스템에 대한 최적 오차 분석을 가능하게 하며, 다른 비선형 강하게 결합된 PDE에도 확장 가능하다.
• 속도 및 압력이 $O(h)$ 근사로 이루어져 있어도 농도 오차는 여전히 $O(h^2)$ 유지되며, 실용적 응용에서의 방법의 강건성을 보여준다.